立体几何位置关系平行与垂直证明方法汇总

1 立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 （一）立体几何中平行问题 证 明 直 线 和 平 面 平 行 的 方 法 有 ： ① 利 用 定 义 采 用 反 证 法 ； ② 平 行 判 定 定 理 ； ③ 利 用 面 面 平 行 ， 证 线 面 平 行 。 主 要 方 法 是 ② 、 ③ 两 法 在 使 用 判 定 定 理 时 关 键 是 确 定 出 面 内 的 与 面 外 直 线 平 行 的 直 线 . 常 用 具 体 方 法 ： 中 位 线 和 相 似 例 1、 P是 平 行 四 边 形 ABCD所 在 平 面 外 一 点 ,Q是 PA的 中 点 . 求 证 ： PC∥ 面 BDQ. 证 明 ： 如 图 ， 连 结 AC交 BD于 点 O. ABCD是 平 行 四 边 形 ， ∴ AO=OC.连 结 OQ， 则 OQ在 平 面 BDQ内 ， 且 OQ是 △ APC的 中 位 线 ， ∴ PC∥ OQ. PC在 平 面 BDQ外 ， ∴ PC∥ 平 面 BDQ. 例 2、 在 棱 长 为 a的 正 方 体 ABCD－ A1B1C1D1中 ， 设 M、 N、 E、 F分 别 是 棱 A1B1、 A1D1、 C1D1、B1C1的 中 点 .求 证 ： (1)E、 F、 B、 D四 点 共 面 ； （ 2） 面 AMN∥ 面 EFBD. 2 证 明 :(1)分 别 连 结 B1D1、 ED、 FB， 如 图 ， 则 由 正 方 体 性 质 得 B1D1∥ BD. E、 F分 别 是 D1C1和 B1C1的 中 点 ， ∴ EF∥21 B1D1.∴ EF∥21 BD. ∴ E、 F、 B、 D对 共 面 . （ 2） 连 结 A1C1交 MN于 P点 ， 交 EF于 点 Q， 连 结 AC交 BD于 点 O， 分 别 连 结 PA、 QO. M、 N为 A1B1、 A1D1的 中 点 ， ∴ MN∥ EF， EF  面 EFBD. ∴ MN∥ 面 EFBD. PQ∥ AO, ∴ 四 边 形 PAOQ为 平 行 四 边 形 . ∴ PA∥ OQ. 而 OQ  平 面 EFBD， ∴ PA∥ 面 EFBD.且 PA∩ MN=P， PA、 MN  面 AMN， ∴ 平 面 AMN∥ 平 面 EFBD. 例 3 如 图（ 1），在 直 角 梯 形 P1DCB 中 ，P1D//BC，CD⊥ P1D，且 P1D=8，BC=4，DC=46 ，A 是 P1D 的 中 点 ， 沿 AB 把 平 面 P1AB 折 起 到 平 面 PAB 的 位 置 （ 如 图 （ 2） ） ， 使 二 面 角 P—CD— B 成 45° ， 设 E、 F 分 别 是 线 段 AB、 PD 的 ...