P A B C D Q GFDECBA立体几何（创新题） 1、如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC （1）当k＝21 时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值。 （2）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？ 2、如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a ，又PA⊥平面ABCD，PA＝4． （1）BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a 的取值范围； （2）C上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角 A－PD－Q的余弦值。 3、已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =2 ，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x ，G是BC的中点。沿 EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如图) 。 (1) 当x =2时，求证：BD⊥EG ； (2) 若以 F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为( )fx ，求( )fx 的最大值； (3) 当( )fx 取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值。 4、在四 棱锥A B C DP 中，PA平面A B C D，底面A B C D 为矩形，)0(aa B CPAAB。 ABCDOPAABCDPPDDBCP1222260 主视图左视图俯视图ABCDFEP(Ⅰ)当1a 时，求证：BDPC； (Ⅱ) 若BC 边上有且只有一个点Q ，使得QDPQ ， 求此时二面角QPDA的余弦值。 5、用一边长为12cm的正方形铁片，按图将阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个四棱锥容器P－ABCD。 （1）证明：四棱锥P－ABCD为正四棱锥； （2）求容器四棱锥P－ABCD容积的最大值； （3）在四棱锥P－ABCD的容积最大值时，如它的顶点都在一个球面上，求这个球的表面积。 6、一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，E为侧棱PD的中点。 （1）求证：PB//平面AEC； （2）若F为侧棱PA上的一点，且PFFA，则 为何值时， PA 平面BDF？并求此时几何体F—BDC的体积。 C D P A B C D P 参考答案 1、（1）30210 （2）1k 2、解法1：（Ⅰ）如图，连 AQ ，由于 PA⊥平面 ABCD，则由 PQ⊥QD，必有 AQDQ． 设 BQt ，则 CQat ， 在 Rt ABQ中，有24AQt． 在 Rt CDQ中，有24DQat． 在 Rt ADQ中，有222AQDQAD． 即22244tata，即240tat． ∴44att． 故 a 的取值范围为4, ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当2t ，4a 时，边 BC上存在唯一点 Q（Q为 BC边的中点）， 使 PQ⊥...
