第6章线性空间(解答题)(65题)

1．什么是线性空间? 答 :设 V 是一个非空集合,P 是一个数域,在 V 中定义了一个加法运算,在 P 和 V 的元素之间定义了一个数量乘法运算.如果上述两种运算满足以下规则,那么就称V 为 P 上的一个线性空间(或称向量空间). 1).+ = +    ； 2).++ = ++   （）（） ； 3).V 中有一个元素0，V 都有+0= ， 0 称为V 的零元素； 4).V ，存在V ，使得+ =0 ，  称为 的负元素； 5).1=  ； 6). ()()k lkl； 7). ()klkl； 8). ( + )=+kkk  ； 其中 ，  ，  表示V 中的任意元素；k ， l 表示P 中的任意数． 2．非空集合Ｖ在定义了加法和数乘运算之后成为P 上的一个线性空间，V 能否再定义另外的加法和数乘运算成为P 上的另一个线性空间？ 答：有可能．例如，全体二元实数列构成的集合 {( , ) | ,}Va ba bR． 1).定义( , )( , )(,),( , )(,)a bc dac bdk a bka kb，则 V 成为R 上的一个线性空间 2).定义2(1)( , )( , )(,),( , )(,)k ka bc dac bdac k a bka kbaz，则V 成为R 上的另一个线性空间. 3．线性空间V 有哪些简单性质与结论？ 答：1）零元素是唯一的； 2）  的负元素是唯一的； 3）000kk或； 4）=（）； 5）=kkk （） （）（）； 6）()k abkakb ； 7）,V ，存在唯一的V ，使得= . 证明：容易验证1）—3）， 4）因为+=0（），所以 为（ ）的负元，即=（）. 5）()(()0,()()kkkkkk    .另一式子可类似证明. 6）()(())()=() =kkkkkkkk  . 7）(),+ =   是方程的解.又若1 也是+ =   的解， 则1+ = +    .两边左加，有1=  .所以方程+ =   在 V 中有唯一解. 4．判断一个非空集合M 不是线性空间有哪些基本方法？ 答：1） M 是至少含两个元的有限集； 2） M 关于定义的某一运算不封闭； 3） M 不满足8 条规则中的任一条. 5．线性空间的例子. 答：1） 数域P 按照数的加法和乘法构成自身上的一个线性空间.特别的，实数域...