1双曲线简单的几何性质二lMFJ=la+叫,IMF2I=la-ey0l-一、基础知识导学一）双曲线的焦半径公式设 M（xo,y：）是双曲线兰—啟=1（a>0,b>0）的一点00a2b2与点仆-讪 J,。）的距离。（）若点在双曲线的左支上，其中 e 是离心率。此时左焦半径［=-（exo+a）；右焦半径 r2=-（exo 一a）rr推导方法：…”打|=e,2=e=FIMNIIMNI212r 和丫 2分别是点Ma2r=eIMNI=e(——x)=-(ex+a)11c0r=eIMNI=e(a22c—x)=—(ex—a)。00（）若点在双曲线的右支上，其中 e 是离心率。此时左焦半径［=ex0+a；右焦半径r=ex-a20rr推导方法：…〃打|=e,2=e=IMNIIMNI12r=eIMNI=e(x+—)=1ex+a；0c0r=eIMNI=e(x——)=ex—a。220c0故，左焦半径 r =1ex+aI，右焦半径 r=1ex 一 aI同理焦点在I\MF\=Ia+ey 轴上的双曲线的焦半径公式：陽=|a-ey：II（其中 FF2分别是双曲线的下上焦点）。注：（）双曲线的焦半径（FF2分别是双曲线的左（下），右上）焦点）焦点在 x 轴上的焦半径公式：丿IMFI=la+exi"|0|MF|=|a—ex'焦点在 y 轴上的焦半径公式2g（二）焦点三角形的面积：S 二b2C0t,g=ZFPF212x2y2设 P 是双曲线=1（a>0,b>0）上一点，F,F 是双曲线的焦点，且a2b212gZFPF=0 求证：AFPF 的面积等于b2cot—。12122三几种特殊的双曲线（）共渐近线双曲线bx2y2共渐近线 y=土一 x 的双曲线为—————二九（a>0,b>0,九工0）。aa2b2① 九>0时，焦点在 x 轴上，方程二—^-=九可看作表示焦点在 x轴上的一族双曲线；a2b2② 九<0时，焦点在 y 轴上，方程二-二=九可看作表示焦点在 y 轴上的一族双曲线;a2b2（）等轴双曲线若双曲线的实半轴长与虚半轴长相等，这样的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为 x2—y2=a2 或 y2—x2=a2（a>0）。所有的等轴双曲线的渐近线的渐近线都是 y=±x，离心率为 p2。（）共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线叫做已知双曲线的y23=1(a>0,b>0)，则性质b2共轭双曲线。x2y2若已知双曲线的方程——-—=1（a>0,b>0），则其共轭双曲线方程a2b2① 互为共轭的双曲线有相同的渐近线，相同的焦距（焦点不同）；② 它们的四个焦点在同一个圆 x2+y2=a2+b2上;③两个离心率的倒数的平方和为 1。、数学思想、规律、方法题型 1 焦点三角形问题x2y2例设 P 是双曲线一=1(a>0,b>0)上一点，F,F 是双曲线的焦点，且a2b212aZFPF=a 求证：AFPF 的面积等于b2cot-12122x2练习 1.已知 F,F 是双曲线——一 y2二 1 的焦点，是双...
