随机变量数字特征习题课

1/9第讲随机变量的数字特征习题课教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数学期望和方差。教学难点：随机变量函数的数学期望。教学时数：学时教学过程：一、知识要点回顾随机变量 X 的数学期望 E(X)对离散随机变量 E(X)二工 xp(x)iii若 i=1,2,…，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。对连续随机变量 E(X)=Jwxf(x)dx—g假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。随机变量 X 的函数 g(X)的数学期望 E[g(X)]，其中 g(X)为实函数。对离散随机变量 E[g(X)]=工 g(x)p(x)iii对连续随机变量 E[g(X)]=卜 g(x)f(x)dx—g假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。二维随机变量(X,Y)的函数 g(X,Y)的数学期望 E[g(X,Y)]，其中 g(X,Y)为二元实函数。对离散随机变量 E[g(X,Y)]=工工 g(x,y)p(x,y)ijijij对连续随机变量 E[g(X,Y)]=卜卜 g(x,y)f(x,y)dxdy—g—g假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。数学期望的性质(假定所涉及的数学期望都存在)E(c)=c,(c 为常数)E(cX)=cE(X),(c 为常数)2/9E(aX+b)=aE(X)+b,(a,b 为常数)E(X+Y)二 E(X)+E(Y)E(工 cX)=KcE(X)iiiii=1i=1若 X,Y 相互独立，贝 yE(XY)=E(X)E(Y)。若 X,X，…,X 相互独立，则 E(XX…X)=E(X)E(X)…E(X)。12n12n12n随机变量 X 的方差 D(X)=E{[XE(2X)=}E 险)^X 这)里假定 E(X),E(2X 都存在。方差的性质D(c)=0,(c 为常数)D(cX)=c2D(X),(c 为常数)D(aX+b)=a2D(X),(a,b 为常数)若 X,Y 相互独立，贝 VD(X+Y)=D(X)+D(Y)。若 X,X，…,X 相互独立，c,c，…,c 为常数，则 D(工 cX)=]Ec2D(X)。12n12niiiii=1i=1随机变量 X 的 k 阶原点矩 v(X)=E(Xk)k随机变量 X 的 k 阶中心矩卩(X)=E{[X—E(X)]k}k易知，v(X)=E(X),卩(X)三 0,卩(X)=D(X)。112随机变量 X 与 Y 的协方差cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)+2abcov(X,Y),(a,b 为常数)cov(X,Y)=cov(Y,X)cov(aX,bY)=abcov(X,Y),(a,b 为常数)cov(X+Y,Z)二 cov(X,Z)+cov(Y,Z)3/9若 cov(X,Y)二 0,则称 X 与 Y 不相关。若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 X 与 Y 一定不相关，反之不成立。随机变量 X 与 Y 的相关系数 R(X,Y)=2°^工JD(X 用 W)IR(X,Y)1<1Y 二 a+bXolR(X,Y)I 二 1切比雪夫不...