自主招生数学试题集锦

汇智起航自主招生特训数学资料 咨询电话：400-005-2011 1 自主招生试题选讲(清华、北大、交大等) 2009，11 清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手，掀开了国内高招史上的新篇章 自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。 应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占 60-70% 2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。 几个热点问题 方程的根的问题： 1. 已知函数2( )fxaxbxc(0)a ，且( )fxx没有实数根．那么(( ))ffxx是否有实数根？并证明你的结论．（08 交大） 2. 设432( )(1)(32)4fxa xxaxa，试证明对任意实数a ： （1）方程( )0fx总有相同实根； （2）存在0x ，恒有0()0fx．（07 交大） 3.（06 交大）设3229,29270kxk xkxk解 方 程 4. （05 复旦）在实数范围内求方程：441073xx的实数根． 5.（05 交大）320xaxbxc的三根分别为 a,b,c，并且 a,b,c 是不全为零的有理数，求 a,b,c的值． 6. 解方程：．求方程2223xxxxx（n 重根）的解．(09 交大) 凸函数问题 1. (2009 复旦) 如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意 x，y 都满足 ()()()22xyfxfyf，则称这个函数时下凸函数，下列函数 （1）()fx2x （2）()fx3x （3）()fx2lo gx （0x ） 汇智起航自主招生特训数学资料 咨询电话：400-005-2011 2 （4）,0,()2,0,x xfxx x  中是下凸函数的有-------------------。 A．(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 2. （06 复旦）设x1,x2∈（0，2 ），且x1≠x2，下列不等式中成立的是： (1) 12（tanx1+tanx2）>tan122xx; (2) 12（tanx1+tanx2）sin122xx; (4) 12（sinx1+sinx2）