自回归移动平均模型

第二章 自回归移动平均模型 一些金融时间序列的变动往往呈现出一定的平稳特征，由Box 和Jenkins 创立的ARMA模型就是借助时间序列的随机性来描述平稳序列的相关性信息，并由此对时间序列的变化进行建模和预测。 第一节 ARMA 模型的基本原理 ARMA 模型由三种基本的模型构成：自回归模型（AR，Auto-regressive Model），移动平均模型（MA，Moving Average Model）以及自回归移动平均模型（ARMA，Auto-regressive Moving Average Model）。 2.1.1 自回归模型的基本原理 1．AR 模型的基本形式 AR 模型的一般形式如下： tptptttyyyy2211c 其中，c 为常数项， p21, 模型的系数，t 为白噪声序列。我们称上述方程为p阶自回归模型，记为AR( p )。 2．AR 模型的平稳性 此处的平稳性是指宽平稳，即时间序列的均值，方差和自协方差均与时刻无关。即若时间序列}{ty是平稳的，即)(tyE，2)(tyVar，2),(sstt yyCov。 为了描述的方便，对式（2.1）的滞后项引入滞后算子。若1ttxy，定义算子“L”，使得1tttxLxy，L 称为滞后算子。由此可知，kttkxxL。 对于式子（2.1），可利用滞后算子改写为： ttpptttyLyLLyy221c 移项整理，可得： ttppyLLLc)1(221 AR( p )的平稳性条件为方程01221ppLLL的解均位于单位圆外。 3．AR 模型的统计性质 （1）AR 模型的均值。 假设 AR( p )模型是平稳的，对 AR( p )模型两边取期望可得： )c(E)(Ε2211tptptttyyyy 根据平稳序列的定义知，)(Ety，由于随即干扰项为白噪声序列，所以0)(Et，因此上式可化简为： 021)1(p 所以，p2101 （2）AR 模型的方差。 直接计算 AR( p )模型的方差较困难，这里引入 Green 函数。 AR( p )模型可以改写成如下形式： )(Lytt 设p 1为平稳AR( p )模型的反特征根，则 2121( )1(1)pppiiLLLLL 。 进一步， 001i10i1ik)(k1kjjjtjpijtjipijtjipititGLLy 其中，ik 为常数，jipijGi1k，称为Green 函数，因为p 1均在单位圆内，所以 Green 函数是呈负指数下降的。 对上式两边取方差，可...