自考2324离散数学课后答案 4.1 习题参考答案 -------------------------------------------------------------------------------- 1、在自然数集N 中，下列哪种运算是可结合的 ( )。 a)、 a*b=a-b b) a*b=max(a,b) c)、 a*b=a+2b d) a*b=|a-b| 根据结合律的定义在自然数集N 中任取 a,b,c 三数，察看 (a。b)。c=a。(b。c) 是否成立？ 可以发现只有 b、c 满足结合律。 晓津观点：b)满足结合律，分析如下： a) 若有a,b,c∈N，则 (a*b)*c =(a-b)-c a*(b*c) =a-(b-c) 在自然数集中，两式的值不恒等，因此本运算是不可结合的。 b)同上，(a*b)*c=max(max(a,b),c) 即得到a，b,c 中最大的数。a*(b*c)=max(a,max(b,c))仍是得到a,b,c 中最大的数。此运算是可结合的。 c)同上,(a*b)*c=(a+2b)+2c 而a*(b*c)=a+2(b+2c),很明显二者不恒等，因此本运算也不是可结合的。 d)运用同样的分析可知其不是可结合的。 -------------------------------------------------------------------------------- 2、设集合 A={1，2，3，4，...，10} ,下面定义的哪种运算，关于集合A 是不封闭的? a) x*y=max(x,y) b) x*y=min(x,y); c) x*y=GCD(x,y),即x,y 最大公约数； d) x*y=LCM(x,y) 即x,y 最小公倍数； d)是不封闭的。 -------------------------------------------------------------------------------- 3、设S 是非空有限集， 代数系统<(s),∪,∩>中，(s)上，对∪的幺元为___φ ___，零元为___S____，(s)上对∩的幺元为___S_____零元___φ ____。 -------------------------------------------------------------------------------- 4、设p,q,r 是实数，*为R 上二元运算↓a,b∈R，a*b=pa+qb+r，问*运算是否适合交换律、结合律和幂等律，是否有单位元和零元？并证明你的结论。 其不满足 交换律 、满足结合律 、不满足幂等律、无零元、无单位元 晓津补充证明如下： (1)a*b=pa+qb+r 而b*a=pb+qa+r 当 p,q 取值不等时，二式不相等。因此*运算不满足交换律。 (2)设a,b,c∈R 则(a*b)*c=p(pa+qb+r)+qc+r=p^2a+pab+pr+qc+r 而a*(b*c)=pa+q(pb+qc+r)+r=pa+qpb+q^2c+qr+r 二式不恒等，因此*运算是不满足结合律的。 (3)a*a=pa+qa+r≠a 所以运算不满足幂等律。 (4)反证法。设有单位元e,则应有 a*e=pa+qe+r=a, e*a=pe+qa+r=a,可知e=(a-pa-r)/q 或 e=(a-qa-r)/p 当 p,q,r ,a 取值不同时，可...
