主要内容本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质. 外测度和内测度是比较直观的两个概念,内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是,这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集(即定义),为此,首先讨论了外测度的性质(定理). 注意到外测度仅满足次可列可加(而非可列可加)性,这是它和测度最根本的区别.我们设想某个点集上可以定义测度,该测度自然应该等于这个集合的外测度,即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来,因为这个条件无非是一种可加性的要求. 本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中,最基本的是测度满足在空集上取值为零,非负,可列可加这三条性质. 由此出发,可以导出测度具有的一系列其它性质,如有限可加,单调,次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论. 本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、 型集和 型集逼近. 正是由于勒贝格可测集,勒贝格可测集类,勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质,才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用. 本章中,我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理,其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道:任何具有正测度的集合一定含有不可测子集. 复习题一、推断题1、对任意,都存在。(√ )2、对任意,都存在。(× )3、设,则可能小于零。(× )4、设,则。(√ )5、设,则。(× )6、。(× )7、。(√ )8、设为中的可数集,则。(√ )9、设为有理数集,则。(√ )10、设为中的区间,则。(√ )11、设为中的无穷区间,则。(√ )12、设为中的有界集,则。(√ )13、设为中的无界集,则。(× )14、是可测集是可测集。(√ )15、设{}是可测集列,则,都是可测集。(√ )16、零测集、区间、开集、闭集和 Borel 集都是可测集。(√ )17、任何可测集总可表示成某个 Borel 集与零测集的差集。(√ )18、任何可测集总可表示成某个 Borel 集与零测集的并集。(√ )19、若,则。(× )20、若是无限集,且,则是可数集。(× )21、若,则必为无界集。(√ )22、在中必存在测度为零的无界集。(√ )23、若,都是可测集,且...