工程优化设计

1 最优化设计的根本概念 最优化就是追求最好结果或最优目标，从所有可能方案中选择的最合理的一种方案。在进行工程设计、物资运输或资源分配等工作中，应用最优化技术，可以帮助我们选择出最优方案或作出最优决策。目前，最优化方法在工程技术、自动控制、系统工程、经济方案．企业管理等各方面都获得了广泛应用。 最优化设计是从可能设计中选择最合理的设计，以到达最优目标。搜寻最优设计的方法就是最优化设计法，这种方法的数学理论就是最优化设计理论。最优化设计方法是现代设计方法的一种。 微积分中遇到的函数极值问题是最简单的最优化问题。 最简单的最优化设计问题，就是微积分中的求函数极值问题。它是应用数学的一个分支，已渗透到科学、技术、工程、经济各领域。 例 1.1 边长为 a 的正方形钢板，设计制成正方形无盖水槽，如图：1.1 所示，在四个角处剪去相等的正方形，如何剪法使水槽容积虽大？ 解：设剪去的正方形边长为 x，与此相应的水槽容积为 解出两个驻点 x=a/2 和 x=a/6 第一个驻点没有实际意义。现在判别第二个驻点是否为极大点。因为 V"(X=a/6)=-4a<0说明 x=a/6 的驻点是极大点。 结论是，每个角剪去边长为 a／6 的正方形可使所制成的水槽容积最大。一般记为 Max V〔x〕。 例 1.2 图 1.2 所示的对称两杆支架，由空心圆管构成。顶点承受的荷载为 2P，支座间距为2L，圆管壁厚为 6。设密度为 P，弹性模量为 E，屈服极限为(T。问如何设计圆管平均直径 d和支架高度 H，使支架的重量最轻？ 解：以圆管平均直径 d 和支架高度 H 为两个未知变量。支架总重量的数学表达式为W(H.d)= 2pbd最轻支架重量 w，一般记为 mix W。 式(1.2)中变量 d 和 H 还必须满足以下条件： 图 1.1 正方形钢板 图 I 2 两杆支架 (1)圆管的压应力小于或等于压杆稳定临界应力cr。由材料力学可知，压杆稳定的临界应力为由此得稳定约束条件 (2)圆管压应力小于或等于材料的屈服极限y，由此得强度约束条件 (3)变量 d 和 H 为有界变量，由此得几何约束条件dmin≤d≤dmax，Hmin≤H≤Hmax式中：dmin、dmax、Hmin、Hmax 分别为 d 和 H 的下界值、上界值。 上述支架的最优设计问题表示为： 求设计变量 d 和 H，一般记为 X(或{X})=[d H] T =[X1 X2]T 式(1.2)中 W(d，H)，一般记为 W(x)，称为目标函数。使目标函数最小记为满足以下约束条件gl(X)=g2(X )=g3(x)= dmin-d≤0g4( X)...