训练目的对平行、垂直的证明及空间角的求解强化训练,提高综合分析论证能力,培养较强的空间想象能力.训练题型(1)线、面平行与垂直的证明;(2)平行、垂直关系的应用;(3)探索性问题.解题方略(1)证明平行问题都离不开“线线平行”,找准“线”是关键;(2)证明垂直问题关键是找“线线垂直”,运用已知条件及所给图形找到要证明的线是解题突破口.1.(·南京二模)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AD=CD=AB,AB∥CD,AD⊥CD,PC⊥平面ABCD.(1)求证:BC⊥平面 PAC;(2)若 M 为线段 PA 的中点,且过 C,D,M 三点的平面与 PB 交于点 N,求 PN:PB 的值.2.(·潍坊模拟)如图,边长为的正方形 ADEF 与梯 形ABCD所 在 的 平 面 互 相 垂 直 ,AB∥CD,AB⊥BC,DC=BC=AB=1.点 M 在线段 EC 上.(1)证明:平面 BDM⊥平面 ADEF;(2)判断点 M 的位置,使得三棱锥 B-CDM 的体积为.3.(·青岛检测)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,侧棱 AA1⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,AD=AA1=3,BC=1,E1为 A1B1的中点.(1)证明:B1D∥平面 AD1E1;(2)若 AC⊥BD,求平面 ACD1和平面 CDD1C1所成角(锐角)的余弦值.4.在圆柱 OO1 中,ABCD 是其轴截面,EF⊥CD 于O1(如图所示),AB=2,BC=.(1)设平面 BEF 与圆 O 所在平面的交线为 l,平面ABE 与圆 O1所在平面的交线为 m,证明:l⊥m;(2)求二面角 A-BE-F 的余弦值.5.如图,已知四边形 ABCD 是正方形,DE⊥平面ABCD,FA⊥平面 ABCD,FA=AB=2DE.(1)判断 B,C,E,F 四点与否共面,并证明你的结论;(2)若 CG⊥平面 ABCD,且 CG=FA,请问在平面 ADEF 上与否存在一点 H,使得直线 GH⊥平面 BEF?若存在,求出 H 点的位置;若不存在,请阐明理由.6.已知△ABC 为等腰直角三角形,AC=BC=4,∠ACB=90°,D,E 分别是边 AC和 AB 的中点,现将△ADE 沿 DE 折起,使平 面 ADE⊥ 平 面 DEBC , H , F 分 别 是 边AD 和 BE 的中点,平面 BCH 与 AE,AF 分别交于 I,G 两点.(1)求证:IH∥BC;(2)求二面角 A-GI-C 的余弦值;(3)求 AG 的长.答案解析1.(1)证明 连接 AC.不妨设 AD=1,由于 AD=CD=AB,因此 CD=1,AB=2.由于∠ADC=90°,因此 AC=,∠CAB=45°.在△ABC 中,由余弦定理得 BC=,因此 AC2+BC2=AB2.因此 BC⊥AC.由于 PC⊥平面 ABCD,BC⊂平面 AB...