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注意：所有答案请写在答题纸上一 选择题（7 题×4 分）1．设 n 阶实对称矩阵 A 是正交矩阵，则___.A。 A = I;B. A 与 I 相似；C。 ；D。 A 与 I 合同。2． 下列说法错误的是___。A. A、B 为 n 阶实对称矩阵,若存在 n 阶可逆方阵 C，使得，则 A 与 B 合同;B。 A 为 n 阶实对称矩阵,且对任意 n 维向量 x,都有，则 A=0；C。 两个 n 阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩；D。 实对称矩阵的秩 r 和符号差 s 具有相同的奇偶性。3．设 A 为 n 阶实对称矩阵，则下列条件中有___个必保证 A 为负定。①A 的正惯性指数=0；②A 的所有顺序主子式〈0;③A 的所有特征值〈0；④ 对任意非零向量 x,都有.A. 1B. 2C。 3D。 44．下列叙述中错误的是___.A。 A 为可逆矩阵，则必是正定矩阵；B。 A 为正定矩阵，则存在可逆矩阵 Q，使；C。 A 为正定矩阵，则 A 的所有对角元必大于零；D。 A 为正定矩阵,则 A 必正交相似于对角矩阵。5．设 n 阶实对称矩阵 A 的特征值为，则当 t___时,为正定矩阵。A。 B。 ；C。 ;D。 。6．设是欧氏空间 V 的线性变换，则下列命题中___不能作为是正交变换的等价命题.A. 在某一组基下表示矩阵是正交阵； B. ；C. 保积同构；D. 保持距离不变.7．设是欧氏空间 V 的自伴随算子,则下列命题中正确的有___个.① 在 V 的某组基下表示矩阵是对角阵；② 的特征值模为 1；③ 的属于不同特征值的特征向量必正交;④。A. 1；B。 2; C. 3；D。 4。二 填空题（7 题×4 分)厦门大学《高等代数》课程试卷数学科学学院 所有 系 2024 年级 各 专业主考老师：林鹭、杜妮 试卷类型：（A 卷）1．n 阶实对称矩阵按合同分类，共有___类；而 n 阶对称正交矩阵按相似分类,共有___类.2．设，，,是 R 上 3 阶方阵.则在 B, C, D 中，___与 A 正交相似，___与 A 合同。3． 设为阶正交矩阵，且,则矩阵方程的解 x = ___.4．中，定义内积为标准内积,则向量的夹角是___，距离是___。5．设是欧氏空间 V 的一组标准正交基，,其中，，则___是 V1的一组标准正交基。6．在中，与矩阵的每个行向量都正交的全体向量所构成的子空间 W 的维数为___。7．设是 n 维欧氏空间 V 的一组基，关于这组基的度量矩阵 G，V 上线性变换在这组基下的矩阵为 A,则的伴随算子在这组基下的矩阵是___,从而为自伴随算子的充分必要条件是__...