2025年定西师范高等专科学校数学单招试题测试版含答案解析

1．设 sin＝，那么 sin 2θ＝( )A．－B．－C.D.解析：选 A sin 2θ＝－cos＝2sin2－1＝2×2－1＝－.2．假设向量 a、b 满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝，那么向量 a、b 的夹角 θ 为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选 C ∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋a·b＝，∴a·b＝|a||b|cos θ＝，cos θ＝，θ＝60°.3．向量 a＝(3,4)，b＝(2，－1)，假如向量 a＋λb 与 b 垂直，那么 λ 的值为( )A.B．－C.D．－解析：选 D ∵a＝(3,4)，b＝(2，－1)，∴a＋λb＝(3＋2λ，4－λ)，故 2(3＋2λ)－(4－λ)＝0.∴λ＝－.4．α、β 都是锐角，假设 sin α＝，sin β＝，那么 α＋β＝( )A.B.C.或 D．－或－解析：选 A 由于 α、β 都为锐角，因此 cos α＝＝，cos β＝＝.因此 cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝，因此 α＋β＝.5．将函数 f(x)＝2cos 的图像向左平移个单位，再向下平移 1 个单位，得到函数g(x)的图像，那么 g(x)的解析式为( )A．g(x)＝2cos＋1B．g(x)＝2cos－1C．g(x)＝2cos＋1D．g(x)＝2cos－1解析：选 B 结合三角函数的图像变换可知，g(x)的解析式为 g(x)＝2cos－1，因此 g(x)＝2cos－1.6．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 2c2＝2a2＋2b2＋ab，那么△ABC 是( )A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形解析：选 A ∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，∴cos C＝＝－＜0.∴△ABC 是钝角三角形．7．P(4，－3)为角 θ 的终边上一点，那么 sin 2θ＝________.解析：依题意得 sin θ＝＝－，cos θ＝＝，sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝－.答案：－8．将函数 y＝sin 2x 的图像向右平移个单位后，其图像离原点近来的对称轴方程是________．解析：将函数 y＝sin 2x 的图像向右平移个单位得到 y＝sin 2＝sin(2x－)的图像．令 2x－＝kπ＋得 x＝＋，k∈Z，当 k＝－1 时，得满足条件的对称轴方程 x＝－.答案：x＝－9．△ABC 的三个角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，c＝3，C＝，a＝2b，那么 b 的值为________．解析：依题意与余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C，即 9＝(2b)2＋b2－2×2b×b×cos，解得 b2＝3，b＝.答案：10．函数 f(x)＝sin ωxcos＋的最小正周期为 2π.(1)求 ω 的值；(2)设△ABC 的角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，假设 f(A)＝，b＝1 且△ABC 的面积为 1，求 a.解：(1)f(x)＝sin ωx＋＝sin ωxcos ωx－sin2ωx＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin.又∵T＝＝2π，∴ω＝±.(2)当 ω＝时，∵f(A)＝sin＝，∴sin＝1，∵0＜A＜π，∴A＝.又∵S△ABC＝bcsin A＝·1·c·＝1，∴c＝2.∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋8－2×1×2×＝5，∴a＝.当 ω＝－时，∵f(A)＝sin＝，∴sin＝1，而 0＜A＜π，此时 f(A)＝无解，舍去．综上所述，a＝.