2025年天津市大学数学竞赛试题解答人文类

1dnm1 C ((2  x) ) ((2 2x  x) ) n 年 天津市大学数学竞赛试题解答（人文类） 一. 填空题（本题 15 分，每题 3 分） 11.设  1，则 lim(n!) nn 1 . 11解： 显然有 1  (n!)n (nn )n. 当  1 时，1lim ln xlim11lim (xx ) xx lim xx x ex e( 1) x 1，则有 lim(nn ) nn 1.1由两边夹法则，有 lim(n!) nn 1. 2.lim n[(1 1 )2n  e2 ] = e2 . nn12n ln(1 1 )2n ln(1 1 )2 解：lim n[(1n)2n  e2 ]= lim n[e nnn  e2 ]  lim e2n[enn1] ln(1 1 )  11 1= lim 2e2 n n  2e2 lim ln(1 t)  t  2e2 lim 1 tn= 2e2 lim1n2t e2 t 0t 2t 02tt 0 2（t 1+t)d nmm nm, nf (2)nn(m1)3. 设f (x) dxn (2  x )，其中为正整数，则= (m)n!2 解： f (x) n{(2  x) (2dxn 2m2 x  xm1 )n}nin (i )m1m2m1 n (ni )ni0故 f (2)  Cn ((2  x)n )(n) (2m1  2m2 x   xm1)n | (m)n n!2n(m1) . 4. 设函数 y  y(x) 由方程 sin x ydy4(arcsin t) dt 确定，则21dx 22x0 y解：由 sin x(arcsin t) dt 可得，当 x 0 时， y 1.两边同步对 x 求导，得 1人文类Page 122ex 12xxxx xx xcos x  (arcsin y)2 y ， y=cos x(arcsin y)2 ，有 y(0)  4 .  25. 已知 f (x) 的一种原函数是 sin x ln x ，则 xf '(x)dx =(x cos x  sin x) ln x  sin x  c . 解： 由题意，  f (x)dx  sin x ln x  c ， f (x)  (sin x ln x) 故  xf '(x)dx= xdf (x)  xf (x)   f (x)dx  x(sin x ln x)  sin x ln x  c =(x cos x  sin x) ln x  sin x  c 二. 选择题（本题 15 分，每题 3 分） 1. 设函数 f (x)   ex 1x , x  0 ，其中  0 ， g(x) 为有界函数，则 f (x) 在x  0 处 x1 g(x), x  0（A） 极限不存在 （B） 极限存在但不持续解：选...