O1O2OABP1P2第 22 届全国中学生物理竞赛复赛题参照解答一、1．如图所示，设滑块出发点为P1，离开点为P2，按题意规定O1 P1、O2 P2与竖直方向的夹角相等，设其为θ ，若离开滑道时的速度为 v，则滑块在P2处脱离滑道的条件是 mv2R =mgcosθ (1)由机械能守恒2mgR(1−cosθ)=12 mv2 (2)(1)、(2)联立解得 cosθ=45 或θ=arccos 45=36∘52' (3)2．设滑块刚能在 O 点离开滑道的条件是mv02R =mg（4）v0为滑块抵达 O 点的速度，由此得v0=√Rg（5）设抵达 O 点的速度为 v0的滑块在滑道 OA 上的出发点到O1的连线与竖直的夹角为θ0 ，由机械能守恒，有mgR(1−cosθ0)=12 mv02（6）由（5）、（6）两式解得θ0= π3（7）若滑块抵达 O 点时的速度v>v0 ，则对 OB 滑道来说，因 O 点也许提供的最大向心力为 mg，故滑块将沿半径比 R 大的圆周的水平切线方向离开 O 点．对于v>v0 的滑块，其在 OA 上出发点的位置对应的θ 角必不小于θ0 ，即θ>θ0，由于θmax=π/2，根据机械能守恒，抵达 O 点的最大速度vmax=√2 Rg（8）由此可知，能从 O 点离开滑道的滑块速度是 v0到vmax之间所有也许的值，也就是说，θ 从π/3至π/2下滑的滑块都将在 O 点离开滑道．以速度 v0从 O 点沿水平方向滑出滑道的滑块，其落水点至O2的距离x0=v0 t（9）R=12 gt 2（10）由（5）、（9）、（10）式得x0=√2R（11）当滑块以vmax从 O 点沿水平方向滑出滑道时，其落水点到O2的距离xmax=vmaxt（12）由（8）、（10）、（12）式得xmax=2R（13）因此，凡能从 O 点脱离滑道的滑块，其落水点到O2的距离在√2R 到2 R之间的所有也许值．即√2R≤x≤2 R（14）二、1．由静电感应知空腔 1、2 及 3 的表面分别出现电量为−q1、−q2和−q3的面电荷，由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面展现出电量q1+q2+q3 ．由静电屏蔽可知，点电荷 q1及感应电荷（−q1）在空腔外产生的电场为零；点电荷 q2及感应电荷（−q2）在空腔外产生的电场为零；点电荷q3 及感应电荷（−q3）在空腔外产生的电场为零．因此，在导体球外没有电荷时，球表面的电量q1+q2+q3作球对称分布．当球外 P 点处放置电荷 Q 后，由于静电感应，球面上的总电量仍为(q1+q2+q3)，但这些电荷在球面上不再均匀分布，由球外的 Q 和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零．O3处的电势由位于 P 点处的 Q、导体球表面的电荷(q1+q2+q3)及空腔 3 表面的感...
