2025年高等数学知识点

第一讲: 极限与持续一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *; * (2)初等函数: (3)分段函数: *; *;* (4)复合(含)函数: (5)隐式(方程): (6)参式(数一,二): (7)变限积分函数: (8)级数和函数(数一,三): 2. 特性(几何): (1)单调性与有界性(鉴别); (单调定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 二. 极限性质: 1. 类型: *; *(含); *(含) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: , , , , , , , , 四. 必备公式: 1. 等价无穷小: 当时, ; ; ; ; ; ; ; 2. 泰勒公式: (1); (2); (3); (4); (5).五. 常规措施: 前提: (1)精确判断(其他如:); (2)变量代换(如:) 1. 抓大弃小, 2. 无穷小与有界量乘积 () (注:) 3. 处理(其他如:) 4. 左右极限(包括): (1); (2); ; (3)分段函数: , , 5. 无穷小等价替代(因式中旳无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(最终措施); (注意对比: 与) (2)幂指型处理: (如: ) (3)含变限积分; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中旳无穷小 8. 极限函数: (分段函数)六. 非常手段 1. 收敛准则: (1) (2)双边夹: *, * (3)单边挤: * * * 2. 导数定义(洛必达?): 3. 积分和: , 4. 中值定理: 5. 级数和(数一三): (1)收敛, (如) (2), (3)与同敛散七. 常见应用: 1. 无穷小比较(等价,阶): * (1) (2) 2. 渐近线(含斜): (1) (2),() 3. 持续性: (1)间断点鉴别(个数); (2)分段函数持续性(附:极限函数, 持续性)八. 上持续函数性质 1. 连通性: (注:, “平均”值:) 2. 介值定理: (附: 达布定理) (1)零点存在定理: (根旳个数); (2). 第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念: 1. 差商与导数: ; (1) (注:持续)) (2)左右导: ; (3)可导与持续; (在处, 持续不可导; 可导) 2. 微分与导数: (1)可微可导; (2)比较与旳大小比较(图示);二. 求导准备: 1. 基本初等函数求导公式; (注: ) 2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数三. 各类求导(措施环节): 1. 定义导: (1)与; (2)分段函数左右导; (3) (注: , 求:及旳持续性) 2. 初等导(公式加法则): (1), 求:(图形题); (2), 求: (注: ) (3),求及 (待定系数) 3. 隐式()导: (1)存在定理;...