如图 1，已知抛物线（b 是实数且 b＞2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C．（1）点 B 的坐标为______，点 C 的坐标为__________（用含 b 的代数式表达）；（2）请你探索在第一象限内与否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且△PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？假如存在，求出点 P 的坐标；假如不存在，请阐明理由；（3）请你深入探索在第一象限内与否存在点 Q，使得△QCO、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊状况）？假如存在，求出点 Q 的坐标；假如不存在，请阐明理由．思绪点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等．2．联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b 的式子表达．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点 Q 最大的也许在通过点 A 与 x 轴垂直的直线上．满分解答（1）B 的坐标为(b, 0)，点 C 的坐标为(0, )．（2）如图 2，过点 P 作 PD⊥x 轴，PE⊥y 轴，垂足分别为 D、E，那么△PDB≌△PEC．因此 PD＝PE．设点 P 的坐标为(x, x)．如图 3，联结 OP．因此 S 四边形 PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．解得．因此点 P 的坐标为()．图 2 图 3（3）由，得 A(1, 0)，OA＝1．① 如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么△OQC≌△QOA．当，即时，△BQA∽△QOA．因此．解得．∵b＞2∴b=8+4因此符合题意的点 Q 为()．② 如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x＝1 交于点 Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．因此 C、Q、B 三点共线．因此，即．解得．此时 Q(1,4)．图 4 图 5考点伸展第（3）题的思绪是，A、C、O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的状况．这样，先根据△QOA 与△QOC 相似把点 Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点 B 的位置．如图中，圆与直线 x＝1 的另一种交点会不会是符合题意的点 Q 呢？假如符合题意的话，那么点 B 的位置距离点 A 很近，这与 OB＝4OC 矛盾．
