如图 1,已知抛物线(b 是实数且 b>2)与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B(点 A 位于点 B 是左侧),与 y 轴的正半轴交于点 C.(1)点 B 的坐标为______,点 C 的坐标为__________(用含 b 的代数式表达);(2)请你探索在第一象限内与否存在点 P,使得四边形 PCOB 的面积等于 2b,且△PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形?假如存在,求出点 P 的坐标;假如不存在,请阐明理由;(3)请你深入探索在第一象限内与否存在点 Q,使得△QCO、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊状况)?假如存在,求出点 Q 的坐标;假如不存在,请阐明理由.思绪点拨1.第(2)题中,等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等.2.联结 OP,把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含 b 的式子表达.3.第(3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点 Q 最大的也许在通过点 A 与 x 轴垂直的直线上.满分解答(1)B 的坐标为(b, 0),点 C 的坐标为(0, ).(2)如图 2,过点 P 作 PD⊥x 轴,PE⊥y 轴,垂足分别为 D、E,那么△PDB≌△PEC.因此 PD=PE.设点 P 的坐标为(x, x).如图 3,联结 OP.因此 S 四边形 PCOB=S△PCO+S△PBO==2b.解得.因此点 P 的坐标为().图 2 图 3(3)由,得 A(1, 0),OA=1.① 如图 4,以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC,那么△OQC≌△QOA.当,即时,△BQA∽△QOA.因此.解得.∵b>2∴b=8+4因此符合题意的点 Q 为().② 如图 5,以 OC 为直径的圆与直线 x=1 交于点 Q,那么∠OQC=90°。因此△OCQ∽△QOA.当时,△BQA∽△QOA.此时∠OQB=90°.因此 C、Q、B 三点共线.因此,即.解得.此时 Q(1,4).图 4 图 5考点伸展第(3)题的思绪是,A、C、O 三点是确定的,B 是 x 轴正半轴上待定的点,而∠QOA 与∠QOC 是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的状况.这样,先根据△QOA 与△QOC 相似把点 Q 的位置确定下来,再根据两直角边对应成比例确定点 B 的位置.如图中,圆与直线 x=1 的另一种交点会不会是符合题意的点 Q 呢?假如符合题意的话,那么点 B 的位置距离点 A 很近,这与 OB=4OC 矛盾.