柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的简单推导

柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的简单推导 ［摘 要]：本文采纳多元微积分，利用球坐标与柱坐标、柱坐标与直角坐标变量转换的相同关系,以拉普拉斯算符为例，简化了在柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的推导。本文提出了此法在柱坐标和球坐标系下梯度、旋度、散度算符表达式的推导中的适用性，适合广阔非数学专业本科生学习与掌握。［关键词]：拉普拉斯算符；球坐标；柱坐标；多元微积分［中图分类号］：O13［文献标识码］:A[文章编号］:1672—1452(2024）＊＊—＊*＊＊—041 引 言在材料科学基础、近代物理、量子力学等课程的内容中，菲克第二定律和薛定谔方程中的拉普拉斯算符在柱坐标系和球坐标系中的表达式十分重要。在近代物理的课本 ［1]和材料科学基础的课本［2］上，提到了拉普拉斯算符在柱坐标和球坐标系下的表达式，但没有给出具体的推导过程。在电动力学课本［3］中，这方面的内容是通过引入“正交曲线坐标系”得出关于拉普拉斯算符的一般结论,再推导出球坐标和柱坐标下的表达式。但是利用正交曲线坐标系的一般结论进行推导比较抽象 ，对于非数学专业的同学来说，理解一般性的结论需要较高的数学水平 .现有的文献［4］[5]中，有采纳多元复合函数微商法则完成推导的，虽然此法在对学生的微积分要求较低，但是所给出的证明计算繁琐,无助于学生直接理解公式的正确性和自主完成推导。本文给出了用多元微积分导出拉普拉斯算符在柱面坐标系和球面坐标系中表达式的简单方法。此法仅要求学生掌握基本的多元微积分知识，计算过程简洁美观,便于广阔的非数学系专业的学生掌握和理解。建议在近代物理、量子力学、材料科学基础等课程教材和教学中应用.2 柱坐标和球坐标下拉普拉斯算符的推导2.1 柱坐标系下的拉普拉斯算符表达式的推导首先，直角坐标系的重量与柱坐标系的重量有如下的转换关系:（1）（2）(3）（4)（1)式两端分别对 x 和 y 求偏导，得(5)(6）（2）两端对 x 求偏导，并将（5)式代入，得(7）同理可知，（8）假设所讨论的函数为由于 z 关于 x，y 是独立的变量,故（9）同理(10）利用公式（5）（7）(9），对 f 求 x 的二次偏导(11）类似地，计算 f 关于 y 的二阶偏导数。计算过程与上面相同，将 x 换为 y，换为，换为即可。于是（12）结合（11）（12）式,合并同类项后可以得到（13）式（13）最后，拉普拉斯算子的柱坐标可表示如下（14—a）或者（14—b)2.2 球坐标系下的拉普拉斯算子的推导上述柱坐...