2025年数二真题及解析

一. 填空题（本题共 6 小题，每题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设, 则的间断点为 0 .【分析】,先用求极限的措施得出的体现式, 再讨论的间断点.【详解】显然当时,; 当时, ,因此 ,由于 故 为的间断点.（2）设函数由参数方程 确定, 则曲线向上凸的取值范围为.【分析】鉴别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 定义的 求出二阶导数,再由 确定的取值范围.【详解】,,令 .又 单调增, 在 时, .(时，时，曲线凸.)【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数, 如1989、1991、1994、数二考题，也考过函数的凹凸性.（3）.【分析】运用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.【详解 1】.【详解 2】.【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,重要考察广义积分(或定积分)的换元积分法.（4）设函数由方程确定, 则.【分析】此题可运用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.【详解 1】在 的两边分别对,求偏导,为的函数.,,从而 ,2(1)( )lim1nnxf xnx ( )f x( )f x( )f x0x ( )0f x 0x 2221(1)(1)1( )limlim11nnxnxxnf xnxxxxn  ( )f x0,01 ,0xxx001lim( )lim(0)xxf xfx 0x ( )f x( )y x333131xttytt ( )yy x1 （，）（或（- ，1] ）( )( )xx tyy t223( ) ( )( )( )( ( ))d yy t x tx t y tdxx t220d ydx22222331213311dydyttdtdxdxtttdt 222223214113(1)3(1)d yddydttdtdxdxdxttt220d ydx0t 331xtt0t (,1)x  0t 1x  (,1] 121dxx x2221002sectansecsectan21dxttxtdtdtttx x01120110222111()arcsin21111dxtxdtdttttx xtt( , )zz x y232xzzey3 zzxy2232xzzey,x y23 (23)xzzzexx23 ( 3)2xzzzeyy2323213xzxzzexe 因此 【详解 2】令 则 , , ,,从而 【详解 3】运用全微分公式,得 即 , 从而 【评注】此题属于经典的隐函数求偏导.（5）微分方程满足的特解为.【分析】此题为一阶线性方...