第十二章 无穷级数一、常数项级数1、 常数项级数：1)定义和概念:无穷级数： 部分和： 正项级数：， 级数收敛：若存在，则称级数收敛 , 否则称级数发散 2)性质: 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛，各项同乘同一常数仍收敛。 两个收敛级数的和差仍收敛。，级数，收敛,则收敛；注:一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. 去掉、加上或改变级数有限项， 不改变其收敛性级数收敛，则任意加括号后仍然收敛； 若级数收敛, 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛,其和不变，且加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注:收敛级数去括号后未必收敛. 必要条件：级数收敛。（注意：不是充分条件！唯一推断发散条件）3)审敛法：（条件：均为正项级数 表达式：,）前 n 项和存在极限则收敛；收敛有界； 比较审敛法：且，若收敛，则收敛;若发散,则发散. 比较法的极限形式:，而收敛 , 则收敛；若或，而发散，则发散。 比值法: ,当 : 时 , 级数收敛 ; 时 , 级数发散；时，级数可能收敛也可能发散 . 2、 交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：，满足：，且，则级数收敛。条件收敛:收敛，而发散；绝对收敛：收敛。绝对收敛,则收敛.其他级数：等比级数： ; 调和级数：二、函数项级数（幂级数：） 1、 ,则收敛半径（缺项级数用比值审敛法求收敛半径）2、 和函数的性质：在收敛域上连续；在收敛域内可导，且可逐项求导 ; 和函数在收敛域上可积分，且可逐项积分。 ( 不变 , 收敛域可 能变化 ) 。 3、 泰勒级数：
