410天体的运动与能量

M1r2r1v2v图 4-10-1§4．10 天体的运动与能量4．10．1、天体运动的机械能守恒二体系统的机械能 E 为系统的万有引力势能与各天体的动能之和。仅有一个天体在运动时，那么 E 为系统的万有引力势能与其动能之和。由于没有其他外力作用，系统内万有引力属于保守力，故有机械能守恒，E 为一恒量，如图4-10-1 所示，设 M 天体不动，m 天体绕 M 天体转动，那么由机械动能守恒，有当运动天体背离不动天体运动时，不断增大，而将不断减小，可达无穷远处，此时而≥0，那么应满足 E≥0，即例如从地球发射人造卫星要挣脱地球束缚必有我们称=11.2km/s 为第二宇宙速度 ，它恰为第一宇宙速度为倍。另外在上面的二体系统中，由于万有引力属于有心力，所以对 m 而言，遵循角动量守恒或 方向的夹角。它实质可变换得到开普勒第二定律，即行星与恒星连线在相等时间内扫过面积等。4．10．2、天体运动的轨道与能量PEKE0PEKEv2恒量sinmvrrv与是MOa x1va2vybb)0,(图 4-10-2CDFOabcxy)0,(c图 4-10-3假设 M 天体固定，m 天体在万有引力作用下运动，其圆锥曲线可能是椭圆〔包括圆〕、抛物线或双曲线。i〕椭圆轨道如图 4-7-1 所示，设椭圆轨道方程为 〔a>b〕那么椭圆长，短半轴为 a、b，焦距，近地点速度，远地点速度，那么有或由开普勒第二定律：可解得代入 E 得ii)抛物线设抛物线方程为太阳在其焦点〔〕处，那么 m 在抛物线顶点处能量为可以证明抛物线顶点处曲率半径，那么有得到抛物线轨道能量 iii〕双曲线12222byax22bac1v2vA41,0A21220)41/(/AGMmmv04)8(21AGMAGMmE设双曲线方程为焦距，太阳位于焦点〔C，0〕，星体 m 在双曲线正半支上运动。如图 4-10-3 所示，其渐近线 OE 方程为 y=bx/a，考虑 m 在 D 处与无穷远处关系，有考虑到当，运动方向逼近渐近线，焦点与渐近线距为故有 或 联解得双曲线轨道能量小结 椭圆轨道 抛物线轨道 双曲线轨道以下举一个例子质量为 m 的宇宙飞船绕地球中心 0 作圆周运动，地球半径为 R，飞船轨道半径为 2R。现要将飞船转移到另一个半径为 4R 的新轨道上，如图 4-10-4 所示，求〔1〕转移所需的最少能量；22bacrFCbvacvD21)(21bmvacmvD)(02aGMmE0E02aGMmERR2R4ABCO图 4-10-4〔2〕假如转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的 ACB 所示，那么飞船在两条轨道的交接处 A 和 B 的速度变化各为多...