5.2.解析函数的孤立奇点

第五章教学课题：第二节 解析函数的孤立奇点教学目的：1、掌握孤立奇点的三种类型；2、理解孤立奇点的三种类型的判定定理；3、归纳奇点的所有情况；4、充分理解关于本性奇点的两大定理。教学重点：孤立奇点的三种类型教学难点：孤立奇点的三种类型的判定定理教学方法：启发式、讨论式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：孤立奇点是解析函数中最简单最重要的一种类型，以解析函数的洛朗级数为工具，讨论解析函数在孤立奇点去心邻域一个解析函数的性质。教学过程：1、解析函数的孤立奇点：设函数 f(z)在去掉圆心的圆盘确定并且解析，那么我们称为 f(z)的孤立奇点。在 D，f(z)有洛朗展式其中是圆。为 f(z)的正那么局部，为 f(z)的主要局部。例如，0 是的孤立奇点。一般地，对于上述函数 f(z)，根据它的洛朗展式含负数幂的情况〔主要局部的情况〕，可以把孤立奇点分类如下：2、可去奇点 假如当时 n=-1,-2,-3,…，，那么我们说是 f(z)的可去奇点，或者说 f(z)在有可去奇点。这是因为令，就得到在整个圆盘的解析函数 f(z)。例如，0 分别是的可去奇点、单极点及本性奇点。定理 5.3 函数 f(z)在解析，那么是 f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，，其中是一个复数。证明：〔必要性〕。由假设，在，f(z)有洛朗级数展式：因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是 R，所以它的和函数在解析，于是显然存在着。〔充分性〕。设在，f(z)的洛朗级数展式是由假设，存在着两个正数 M 及，使得在，那么取，使得，我们有当 n=-1,-2,-3,…时，在上式中令趋近于 0，就得到。于是是 f(z)的可去奇点。推论 5.3 设函数 f(z)在解析，那么是 f(z)的可去 奇 点 的 必 要 与 充 分 条 件 是 ： 存 在 着 某 一 个 正 数， 使 得 f(z) 在有界。3.席瓦尔兹(Schwarz)引理 假如函数在单位圆解析，并且满足条件那么在单位圆恒有假如上述等式成立或在圆一点出前一式等号成立那么当且仅当4.极点 下面讨论极点的特征。假如只有有限个〔至少一个〕整数 n，使得，那么我们说是f(z)的极点。设对于正整数 m，，而当 n<-m 时，，那么我们是 f(z)的 m 阶极点。根据 m=1 或 m>1，我们也称是 f(z)的单极点或 m重极点。设函数 f(z)在解析，是 f(z)的阶极点，那么在，f(z)有洛朗展式：在这里。于是在在这里是一个在解析的函数，并且。反之，假如函数f(z)在可以表示成为上面的形状，而是一个在解析的函数，并且，...