平面向量的数量积的坐标表示

第十三教时教材：平面对量的数量积的坐标表示目的：要求学生掌握平面对量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。过程：一、 复习：1．平面对量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示2．平面对量数量积的运算3．两平面对量垂直的充要条件4．两向量共线的坐标表示：二、 课题：平面两向量数量积的坐标表示1．设 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x 轴上单位向量 i，y 轴上单位向量 j， 则：ii = 1，jj = 1，ij = ji = 02．推导坐标公式： ∵a = x1i + y1j, b = x2i + y2j ∴ab = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1ij + x2y1ij + y1y2j2 = x1x2 + y1y2从而获得公式：ab = x1x2 + y1y2例一、设 a = (5, 7)，b = (6, 4)，求 ab 解：ab = 5×(6) + (7)×(4) = 30 + 28 = 23．长度、角度、垂直的坐标表示 1a = (x, y)  |a|2 = x2 + y2  |a| = 2若 A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则= 3 cos = 4∵ab  ab = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）4．例二、已知 A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形。 证：∵=(21, 32) = (1, 1), = (21, 52) = (3, 3) ∴=1×(3) + 1×3 = 0 ∴ ∴△ABC 是直角三角形 三、补充例题：处理《教学与测试》P153 第 73 课例三、已知 a = (3, 1)，b = (1, 2)，求满足 xa = 9 与 xb = 4 的向量 x。 解：设 x = (t, s)， 由 xa = 9  3t  s = 9 t = 2 由 xa = 9  3t  s = 9 s = 3 ∴x = (2, 3)例四、如图，以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90， 求点 B 和向量的坐标。 解：设 B 点坐标(x, y)，则= (x, y)，= (x5, y2) ∵ ∴x(x5) + y(y2) = 0 即：x2 + y2 5x  2y = 0 又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29 由 ∴B 点坐标或；=或 例五、在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC 的一个内角为直角， 求 k 值。 解：当 A = 90时，= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 当 B = 90时，= 0，== (12, k3) = (1, k3) ∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k = 当 C = 90时，= 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k = 四、小结：两向量数量积的坐标表示 长度、夹角、垂直的坐标表示五、 作业： P121 练习及习题 5.7 《教学与测试》P154 5、6、7、8，思考题AOB