考点25-几何法解空间角(解析版)

考点 25 几何法解空间角【思维导图】【常见考法】考法一 线线角1．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为_________________.【答案】【解析】连接,则异面直线与所成角为与所成角即.又,.故，故答案为：2．已知正四棱柱中，，E 为中点，则异面直线 BE 与所成角的余弦值为 。【答案】【解析】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于.取 DD1中点 F，则为所求角, .3．如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C 是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为_______________.【答案】【解析】取圆柱下底面弧的另一中点，连接，则因为 C 是圆柱下底面弧的中点，所以，所以直线与所成角等于异面直线与所成角.因为是圆柱上底面弧的中点，所以圆柱下底面，所以.因为圆柱的轴截面是正方形，所以，所以直线与所成角的正切值为.所以异面直线与所成角的正切值为.故答案为:.4．如图，是圆的直径，点是弧的中点，分别是的中点，求异面直线与所成的角 。【答案】【解析】是圆的直径，. 点是弧的中点，.在中，分别为的中点，，与所成的角为.故答案为：5．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 。【答案】【解析】如图，设的中点为，连接、、，易知即为异面直线与所成的角（或其补角）设三棱柱的侧棱与底面边长均为 1，则，，，由余弦定理，得考法二 线面角1．如图，在正方体中，与平面所成角的余弦值是 .【答案】【解析】如图，连接交于，则，又正方体中平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1，∴，而，∴平面，∴是直线与平面所成角，此角大小为 45°，余弦值为．2．如图，在直三棱柱中，为的中点.若，，求与平面所成角的正弦值 。【答案】【解析】过点作于点，如图， 三棱柱为直三棱柱，∴平面. 平面，∴. ，为的中点，∴.又，∴平面， 平面，∴.又，，∴平面，∴为与平面所成的角设，则，，∴.3．如图，已知四棱锥的侧棱底面，且底面是直角梯形，，，，，，点在棱上，且.（1）证明：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：取的三等分点，且，连接，，因为，，所以，且，因为，，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）过点作，垂足为，连接，因为平面，所以，所以平面，则为直线与平面所成的角，由题意可得...