考点 21 求和方法（第一课时）【题组一 裂项相消】1．在数列中，有.（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；（2）记，求数列的前 n 项和.【答案】(1)证明见解析，，(2)【解析】（1）因为，所以当时，，上述两式相减并整理，得.又因为时，，适合上式，所以.从而得到，所以，所以数列为等差数列，且其通项公式为.（2）由（1）可知，.所以.2．已知数列的前项和满足.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由，得.当时，，两式相减得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则；（2）因为，所以，所以.3．记数列的前项和为．若.（1）证明：为等比数列；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；（2）=.【解析】（1）由已知，得，……①当时，，……② ①—②，得，即，整理，得， 又由，得，所以是以 3 为首项，3 为公比的等比数列. （2）由（1）得，所以， 所以， 故=.4．正项数列的前项和满足；（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有；【解析】由,解得或, 数列都是正项,,,,解得或,因为数列都是正项,,当时,有,解得,当时,,符合,所以数列的通项公式.(2),所有5．已知数列中，，，其前项和为，且当时，（1）求数列的通项公式；（3）设，记数列的前项和为，求.【答案】(1) (2) 【解析】（1）由故又且所以数列是一个以 1 为首项，4 为公比的等比数列所以……①,……②由①-② 且不满足上式所以（2），，时而也满足上式，所以6．设数列，其前项和，又单调递增的等比数列， ， .(Ⅰ)求数列，的通项公式；(Ⅱ)若 ，求数列的前 n 项和，并求证：.【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】（1）当时，，当时，，当时，也满足，∴， 等比数列，∴，∴，又 ，∴或（舍去），∴；（2）由（1）可得：，∴，显然数列是递增数列，∴，即.）7．已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）.（2）.【解析】（1）当时，，得当时，有，所以即，满足时，， 所以是公比为 2，首项为 1 的等比数列， 故通项公式为． （2）， ．8．设数列的前项和为，且.（1）求、、的值；（2）求出及数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和为.【答案】（1），，；（2），；（3）当为奇数，；当为偶数，.【解析】(1)，时，，时，，解得，时，，解得，同理可得：，（2）由（1）可得：，，化为，猜想，时，代入，左边；右边,...
