高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程

第一学期第一次课第一章 代数学的经典课题§1 若干准备知识1.1.1 代数系统的概念一个集合,假如在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。1.1.2 数域的定义定义（数域） 设是某些复数所组成的集合。假如 K 中至少包含两个不同的复数,且对复数的加、减、乘、除 四 则 运 算 是 封 闭 的 ， 即 对内 任 意 两 个 数、（可 以 等 于) ， 必 有，则称 K 为一个数域。例 1。1 典型的数域举例: 复数域 C;实数域 R;有理数域 Q;Gauss 数域:Q (i） = {i ｜∈Q｝,其中 i =。命题 任意数域 K 都包括有理数域 Q。证明 设为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素。于是。进而Ｚ, 。最后，Z,，.这就证明了 Q。证毕．1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和 B 中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与Ｂ的差集,记做。定义(集合的映射) 设、为集合。假如存在法则，使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素（记做），则称是到的一个映射,记为假如,则称为在下的像，称为在下的原像。的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像,记做,即。若都有 则称为单射。若 都存在，使得,则称为满射。假如既是单射又是满射,则称为双射,或称一一对应。1.1。4 求和号与求积号1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号。设给定某个数域上个数，我们使用如下记号:，.当然也可以写成，。２. 求和号的性质． 容易证明，事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：分别先按行和列求和，再求总和即可．第一学期第二次课§2 一元高次代数方程的基础知识１．2.1 高等代数基本定理及其等价命题１. 高等代数基本定理 设为 数 域 。 以表 示 系 数 在上 的 以为 变 元 的 一 元 多 项 式 的 全 体 。 假 如,则称为的次数,记为。定理(高等代数基本定理) C的任一元素在 C 中必有零点。命题 设是 C 上一个次多项式，是一个复数。则存在C 上首项系数为的次多项式，使得证明 对作数学归纳法。推论为的零点,当且仅当为的因式（其中）。命题(高等代数基本定理的等价命题) 设为 C 上的次...