第 10 讲 圆锥曲线中的范围、最值问题 第九章 平面解析几何栏目导引栏目导引分层演练直击高考分层演练直击高考第九章 平面解析几何 [典例引领] (2018·云南第一次统一检测)已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 F1，F2 在 y 轴上，离心率等于2 23 ，P 是椭圆 E 上的点．以线段 PF1 为直径的圆经过 F2，且 9PF1→ ·PF2→ ＝1. (1)求椭圆 E 的方程； (2)作直线 l 与椭圆 E 交于两个不同的点 M，N.如果线段 MN 被直线 2x＋1＝0 平分，求直线 l 的倾斜角的取值范围． 范围问题栏目导引栏目导引分层演练直击高考分层演练直击高考第九章 平面解析几何【解】 (1)依题意，设椭圆 E 的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，半焦距为 c. 因为椭圆 E 的离心率等于2 23 ， 所以 c＝2 23 a，b2＝a2－c2＝a29 . 因为以线段 PF1 为直径的圆经过 F2， 所以 PF2⊥F1F2. 所以|PF2|＝b2a . 栏目导引栏目导引分层演练直击高考分层演练直击高考第九章 平面解析几何因为 9PF1→ ·PF2→ ＝1， 所以 9|PF2→ |2＝9b4a2 ＝1. 由b2＝a299b4a2 ＝1，得a2＝9b2＝1， 所以椭圆 E 的方程为y29＋x2＝1. (2)因为直线 x＝－12与 x 轴垂直，且由已知得直线 l 与直线 x＝－12相交， 栏目导引栏目导引分层演练直击高考分层演练直击高考第九章 平面解析几何所以直线 l 不可能与 x 轴垂直， 所以设直线 l 的方程为 y＝kx＋m. 由y＝kx＋m9x2＋y2＝9，得(k2＋9)x2＋2kmx＋(m2－9)＝0. 因为直线 l 与椭圆 E 交于两个不同的点 M，N， 所以 Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)>0， 即 m2－k2－9<0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＋x2＝－2kmk2＋9 . 因为线段 MN 被直线 2x＋1＝0 平分， 所以 2×x1＋x22＋1＝0， 栏目导引栏目导引分层演练直击高考分层演练直击高考第九章 平面解析几何即－2kmk2＋9 ＋1＝0. 由m2－k2－9<0－2kmk2＋9 ＋1＝0，得k2＋92k2－(k2＋9)<0. 因为 k2＋9>0， 所以k2＋94k2 －1<0， 所以 k2>3，解得 k> 3或 k<－ 3. 所以直线 l 的倾斜角的取值范围为π3，π2 ∪π2，2π3 . 栏目导引栏目导引分层演练直击高考分层演练直击高考第九章 平面解析几何 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确...
