“一次近似定理的教学探究摘要：一次近似定理是控制理论中的重要定理之一，它为数学、物理、化学、技术等领域的非线性问题线性化提供了理论依据。为了帮助学生理解一次近似定理，本文通过借助 Gronwall 不等式，证明此定理，并给出了应用例子。此定理的证明方法，有助于培育学生的严密思维方式。关键词：一次近似定理；Gronwall 不等式；范数；特征根一、背景介绍一次近似定理是控制论中十分重要的定理。由于数学、物理、化学、技术等领域大都是非线性问题，非线性化问题处理，不论是理论上还是实践中都非常困难，而线性问题我们有成熟的理论和方法。那么我们能否把非线性问题线性化呢？线性化得到的结论能否用到非线性系统？若没有理论根据，把非线性问题就想当然地线性化处理，这种很不严谨的处理方式，将会出现严重的后果。非常幸运的是我们有理论依据，即一次近似定理，它为非线性问题线性化提供了理论依据。由于国内教材大都直接使用此定理，极少有证明，甚至相当多的教材使用时根本不提此定理，把非线性问题想当然地线性化处理。一次近似定理及其证明过程，具有深刻的数学方法，其对大学生后续其他课程的学习及将来的讨论习惯的培育具有重要意义。为了帮助学生理解一次近似定理，提高教学效果，本文将给出理论证明及应用例子。二、我们首先证明一个引理引理（Gronwall 不等式）：设 a 是常数，u（·）和 v（·）都是区间[t0，+∞]上的实函数，v（t）≥0，且满足不等式u（t）≤a+∫tt0v（s）u（s）ds，则u（t）≤ae∫tt0v（s）ds，t≥t0。证明：令 w（t）=a+∫tt0v（s）u（s）ds，t≥t0，上式两边对 t 求导得dw（t）dt=v（t）u（t）≤v（t）w（t），t≥t0，则 de-∫tt0v（s）dsw（s）dt=e-∫tt0v（s）dsdw（t）dt-v（t）w（t）≤0。两边从 t0 到 t 积分可得 e-∫tt0v（s）dsw（t）-w（t0）≤0，所以我们有 u（t）≤w（t）≤ae∫tt0v（s）ds。三、定理（一次近似定理）的证明考虑非线性系统dx（t）dt=Ax（t）+f（x（t）），t≥0，（1）若矩阵 A 的特征值全在左半平面，函数 f（·）在 x=0 的鄰域连续可微，且存在常数 C 满足‖f（x）‖≤C‖x‖2，那么存在 α>0，δ>0，K>0，使得当‖x（0）‖≤δ 时，方程（1）的解满足不等式‖x（t）‖≤K‖x（0）‖e-αt.（2）证明：由于矩阵 A 的特征值全在左半平面，则存在 α>0，K>0 使得以下不等式成立‖eAt‖≤Ke-2αt，t≥0。（1）式由常数变易公式得x（t）=eAtx（0）+...
