最优有界控制下色噪声驱动多时滞拟线性系统瞬态响应摘要：基于 FokkerPlanckKolmogorov 方程瞬态求解讨论了受最优有界控制的色噪声驱动的多时滞拟线性系统的瞬态响应。利用等价变换将时滞系统转化为非时滞系统。在弱扰动假设下应用标准随机平均法得到振幅过程的部分平均 It 随机微分方程。由动态规划原理和控制力界值条件得到最优有界控制率，从而得到完全平均的 FokkerPlanckKolmogorov 方程。通过原系统的退化线性系统导出一组正交基并在该基空间内进行Galerkin 变分得到近似瞬态响应。最后将该方法应用到受最优有界控制率和色噪声共同作用的时滞 DuffingVanDerPol 振子进行理论求解，并综合讨论了色噪声、时滞、控制力和共振对系统瞬态响应的影响，采纳MonteCarlo 模拟验证了所有理论和计算结果的正确性。关键词：随机振动；Galerkin 法；瞬态概率密度；时滞；最优有界控制引言随机因素在自然界中广泛存在。随机振子的响应问题是理论讨论及应用中的热点问题[1～3]。瞬态响应是响应问题的一个重要方面，讨论系统的瞬态响应可以从时域方面诠释随机振子的运动性态。FokkerPlanckKolmogorov（FPK）方程方法是扩散过程理论的主要方法，通过求解 FPK 方程得到系统的转移概率密度可用以分析系统响应控制、信息熵等问题[4，5]。由于 FPK 方程的复杂性，只有少数特别的系统具有理论精确解[6]。虽然相关领域的学者们在稳态 FPK 方程理论求解方面进行了大量的讨论工作[7，8]，但瞬态 FPK 方程的解仍是极难解决的一个问题，目前只能借助理论分析与数值计算相结合的方式进行近似求解[9，10]。1968 年，Bhandari 和 Sherrer 首次应用 Galerkin 法求解 FPK 方程的平稳解[11]，而后 Wen 将其进展到求解 FPK 方程的瞬态解[12]。2024年，Spanos 结合基于等价线性化的随机平均法和 Galerkin 法讨论了白噪声激励的非线性系统的瞬态响应[13]。时滞现象广泛存在于物理、生物和控制等自然科学与实践领域中。讨论瞬态响应概率密度时考虑到时滞的作用具有重要的理论及实践意义。文献[14]中基于广义谐和函数随机平均法和 Galerkin 法讨论了白噪声激励的时滞强非线性系统的瞬态响应。虽然白噪声模型在理论上便于处理，但讨论表明实际噪声模型应为有色噪声。与有色噪声相关的讨论工作已经渗入到随机动力学的各个分支：文献[15]中讨论了色噪声激励下非对称双稳系统的平均首次穿越时间，文献[16]中讨论了色噪声激励的双稳DuffingVanDerPol...
