第14章--共点线与共线点

第 14 章 共点线与共线点§14.1 梅涅劳斯定理14.1.1★★设等腰直角三角形，，是中点，在上，，求证：.（试用梅氏定理证明）解 析 如 图 ， 设与交 于， 则， 由 梅 氏 定 理 ，， 得，又，故∽，故.14.1.2★设是锐角三角形的边上的一点，，是边上的一点，，与相交于点，求.解析 由梅涅劳斯定理，，得，，故，.所以.14.1.3★证明：锐角三角形一条高线的垂足在另两边及另两条高线的身影在同一直线上.解析 设的三条高线为、、，在、、、上的身影分别为、、ABDCEFAEFBDCAFPBDCSEHRQ、，欲证、、、共线，先证、、共线.由梅氏逆定理，知该结论为真，即，最后一步是由于∽.同理，、、共线，故、、、四点共线.14.1.4★已知是的高，在内，且，，作与垂直，与垂直，、分别是垂足，连结并延长，交延长线于，求.解析 如图，设，则由梅氏定理.又由身影定理，，，于是，得.14.1.5★★如图，已知锐角三角形，是高，在、上的垂足分别是、，延长后交延长线于，若，求.解析 由图知，，故.. 由梅氏定理及身影定理，有，，，故，即， 移项并因式分解，得，于是，即是所求答案.14.1.6★证明，两内角、平分线分别交对边于、，而的外角平分线交直线于，求证：、、共线.解析 如图，既然的外角平分线直线相交，说明，不防设，则在延AEBDC GFANBDCEM长线上.由角平分线性质知，故由梅氏逆定理知、、共线.14.1.7★★已知不等边三角形，、、的平分线分别交对边于、、，的中垂线与直线交于，同理得到、，证明：、、共线.解析 如图，不妨设的中垂线与延长线相交，连结，则，于是，因此∽，于是.同理，，于是，由梅氏逆定理，知、、共线.14.1.8★★已知：是的边上一点，是上一点，、分别在、上，与交于，与交于.求证：若，则.解析 如图，由梅氏定理，.于是.由于，故，于是，故.AFBCDEABA'CA''PAGFEMNBDC14.1.9★已知的面积为 ，点、在上，且∶∶∶∶ ，点在上，且∶∶，、分别与交于点、，求四边形的面积.解析 这类题目基本且典型，显然有，而，于是下求.由梅氏定理，有，代入已知数值得，于是，从而.又由，即，得，从而，于是，故.14.1.10★★★已知不等边锐角三角形，、是高，且位置如图所示，与中位线交于点，点、分别是的外心与垂心，求证：.解析 一个熟知事实是，.延长交直线于点，则有，延长交于点，于是只需证明∽，即只需证.由于，问题归结为，下面计算与.由梅氏定理知，于是.AGHFBDECAPMENOHBDCFQ因，由正弦定理有，故上式为.证毕.14.1.11...