第一节-导数的概念及运算-定积分-学生版

第一节 导数的概念及运算、定积分1．导数的概念(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数：函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率 lim ＝lim ❶为函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数，记作 f′(x0)或 y′x＝x0，即 f′(x0)＝lim ＝lim .函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数 f(x)在 x＝x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点P(x0，y0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．❷ 曲线 y＝fx在点 Px0，y0处的切线是指 P 为切点，斜率为 k＝f′x0的切线，是唯一的一条切线.(3)函数 f(x)的导函数：称函数 f′(x)＝lim 为 f(x)的导函数．(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数 f′(x)在 x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0.2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n·xn－1f(x)＝sin xf′(x)＝cos xf(x)＝cos xf′(x)＝－sin xf(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)f′(x)＝axln af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0，且 a≠1)f′(x)＝f(x)＝ln xf′(x)＝3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)＝(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．5．定积分的概念在 f(x)dx 中，a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式．6．定积分的性质(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k 为常数)；(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中 a＜c＜b)．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质3进行计算.7．微积分基本定理一般地，假如 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把 F(b)－F(a)记作 F(x)，即 f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．8．定积分的几何意义定积分 f(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 y＝f(x)及直线 x＝a，x＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值...