情形一：积分区域关于坐标轴对称定理 4 设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称，则1)当（即是关于的奇函数）时，有 .2)当（即是关于的偶函数）时，有 . 其中是由轴分割所得到的一半区域。例 5 计算，其中为由与围成的区域。解：如图所示，积分区域关于轴对称，且即是关于的奇函数，由定理 1 有.类似地，有：定理 5 设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称，则其中是由轴分割所得到的一半区域。例6 计 算其 中为 由所围。解 ： 如 图 所 示 ，关 于轴 对 称 ， 并 且，即被积分函数是关于轴的偶函数，由对称性定理结论有：.定理 6 设二元函数在平面区域连续，且关于轴和轴都对称，则（1）当或时，有 .（2）当时,有其中为由轴和轴分割所的到的 1/4 区域。9 例 7 计算二重积分，其中： .解：如图所示，关于轴和轴均对称，且被积分函数关于和是偶函数，即有，由定理 2，得其 中是的 第 一 象 限 部 分 ， 由 对 称 性 知 ,，故.情形二、积分区域关于原点对称定理 7 设平面区域,且关于原点对称,则当上连续函数满足1)时,有2)时,有. 例 8 计算二重积分,为与所围区域.解:如图所示,区域关于原点对称,对于被积函数,有,有定理 7,得.情形三、积分区域关于直线对称定理 8 设二元函数在平面区域连续,且,关于直线对称,则1); .2)当时,有.3)当时,有.例 9 求,为所围.解:积分区域关于直线对称,由定理 8,得,故 .类似地，可得：定理 9 设二元函数在平面区域连续,且,关于直线对称,则 （1）当,则有；(2)当,则有.例 10 计算,其中为区域:, .解:如图所示,积分区域关于直线对称,且满足,由以上性质,得:.注：在进行二重积分计算时,善于观察被积函数的积分区域的特点,注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,恰当地利用对称方法解题,可以避免繁琐计算,使二重积分的解答大大简化。
