对圆锥曲线相关问题的探讨431900湖北钟祥一中李玉春吴远红在高二课本中，有这样一道例题：已知圆的方程是x＋y=r，求经过圆上一点M(x，y)的切线方程：不难得到切线方程是xx＋yy＝r当M(x，y)不在圆上，直线xx＋yy＝r和圆x＋y=r是什么关系呢？用圆心到直线的距离公式也不难得出：当M在圆外时，直线和圆相交；当M在圆内时，直线和圆相离。如果进一步问：此时直线xx＋yy＝r和点M(x，y)有什么关系呢？当点Ｍ在圆外时，xx＋yy＝r是过M点作圆的两条切线的切点弦所在直线的方程，和OM垂直的一条直线；当点M在圆内时，如何定位xx＋yy＝r这条直线呢？首先由斜率关系得出直线xx＋yy＝r和OM垂直，直线到原点距离由||确定，当||越小，直线距离圆心越远；当||→r时，直线靠近切线，点M(x，y)和直线xx＋yy＝r有一种对应关系，这种对应关系有什么意义呢？让我们在圆锥曲线这个大范围内来讨论这个问题。以椭圆为例，当点M(x，y)在椭圆＋＝1上时，过点M(x，y)椭圆切线方程是＋＝1；当点M(x，y)在椭圆内部时，直线＋＝1与椭圆相离，点M(x，y)在椭圆外时，直线＋＝1与椭圆相交。定理：对椭圆及双曲线方程±＝1与点M(x，y)对应的极线方程是±＝1对抛物线y＝2px；与点M(x，y)对应的极线方程是yy＝p(x＋x)这是高等几何中定理，是欧氏几何特殊情况笛氏坐标系下点和极线方程的形式。如对椭圆及双曲线，当极点为F(±c，0)处时，极线方程变为x＝±，对抛物线y＝2px，当极点为F(，０)时，极线是x＝－，即焦点和准线的对应关系。极点和极线的对应关系，在解题中有什么作用呢？如文[1]中所列定理：定点P(x，y)不在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，xy≠0，过点P的直线与椭圆相交于点M、N，过点M斜率是－的直线与椭圆相交于另一点R，则直线RN经过定点Q(，)，由MR的斜率是－不难联想到P(x，y)对应的级线＋＝1，(RM和极线平行)，由P(x，y)一定，其极线是定直线且一定和RN相交，又OP是定直线，则RN过的定点应是极线和直线OP的交点。此结论推广到双曲线，抛物线当然也都是成立的。对于文[2]中定理：椭圆焦点弦两端点处的切线的交点轨迹是该焦点相对应的准线，如图AB是过椭圆焦点F的弦，l，l是过A、B处椭圆的切线，则l与l的交点M在准线上。由高等几何知识知，AB是M点对应的极线，由配极原则，F点的极线则一定过M点，由F是焦点，则M一定在椭圆的准线上，故M的轨迹是其准线，此结论当然可以推广到双曲线及抛物线。上述切线是割线的一种特例，一般情况可有下列两个命题：命题１：在椭圆＋＝1中，长轴为AB，过焦点F(c，0)垂直于x轴的弦为CD，则AC和BD的交点M在直线x＝上命题２：在椭圆＋＝1中，AB、CD是过椭圆焦点F的两条弦，若AC和BD相交，则其交点M一定在其准线x＝上，DCBAOF其中命题１是命题２的特殊情况，命题２是知道极点F作出极线的方法，M是F极线上一点，由四边形ABCD中另一组对边的交点也在极线上，可以确定极线。参考文献：刘箭飞，圆锥曲线中一类过定点的弦。中学数学，2007，8江民杰，圆锥曲线焦点弦与相应在准线的关系中学数学，2008，6
