高中数学立体几何存在性问题专题1.(天津理17)如图,在三棱柱111ABCABC中,H是正方形11AABB的中心,122AA,1CH平面11AABB,且15.CH(Ⅰ)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;(Ⅱ)求二面角111AACB的正弦值;(Ⅲ)设N为棱11BC的中点,点M在平面11AABB内,且MN平面11ABC,求线段BM的长.本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点.依题意得(22,0,0),(0,0,0),(2,2,5)ABC111(22,22,0),(0,22,0),(2,2,5)ABC(I)解:易得11(2,2,5),(22,0,0)ACAB�,于是11111142cos,,3||||322ACABACABACAB���所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为2.3(II)解:易知111(0,22,0),(2,2,5).AAAC�设平面AA1C1的法向量(,,)mxyz,则11100mACmAA��即2250,220.xyzy不妨令5,x可得(5,0,2)m,同样地,设平面A1B1C1的法向量(,,)nxyz,则11110,0.nACnAB��即2250,220.xyzx不妨令5y,可得(0,5,2).n于是22cos,,||||777mnmnmn从而35sin,.7mn所以二面角A—A1C1—B的正弦值为35.7(III)解:由N为棱B1C1的中点,得2325(,,).222N设M(a,b,0),则2325(,,)222MNab�由MN平面A1B1C1,得11110,0.MNABMNAC��即2()(22)0,22325()(2)()(2)50.222aab解得2,22.4ab故22(,,0).24M因此22(,,0)24BM�,所以线段BM的长为10||.4BM�方法二:(I)解:由于AC//A1C1,故111CAB是异面直线AC与A1B1所成的角.因为1CH平面AA1B1B,又H为正方形AA1B1B的中心,1122,5,AACH可得11113.ACBC因此22211111111111112cos.23ACABBCCABACAB所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为2.3(II)解:连接AC1,易知AC1=B1C1,又由于AA1=B1A1,A1C1=A1=C1,所以11ACA≌11BCA,过点A作11ARAC于点R,连接B1R,于是111BRAC,故1ARB为二面角A—A1C1—B1的平面角.在11RtARB中,2111112214sin221().33BRABRAB连接AB1,在1ARB中,2221111114,,cos2ARBRABABARBRARBARBR27,从而135sin.7ARB所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为35.7(III)解:因为MN平面A1B1C1,所以11.MNAB取HB1中点D,连接ND,由于N是棱B1C1中点,所以ND//C1H且11522NDCH.又1CH平面AA1B1B,所以ND平面AA1B1B,故11.NDAB又,MNNDN所以11AB平面MND,连接MD并延长交A1B1于点E,则111,//.MEABMEAA故由1111111,4BEBDDEAABABA得122DEBE,延长EM交AB于点F,可得12.2BFBE连接NE.在RtENM中,2,.NDMENDDEDM故所以252.4NDDMDE可得2.4FM连接BM,在RtBFM中,2210.4BMFMBF2.(浙江理20)如图,在三棱锥PABC中,ABAC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2(Ⅰ)证明:AP⊥BC;(Ⅱ)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由。本题主要考查空是点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。方法一:(I)证明:如图,以O为原点,以射线OP为z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O—xyz则(0,0,0),(0,3,0),(4,2,0),(4,2,0),(0,0,4)OABCP,(0,3,4),(8,0,0)APBC�,由此可得0APBC�,所以APBC�,即.APBC(II)解:设,1,(0,3,4)PMPAPM�则BMBPPMBPPA�(4,2,4)(0,3,4)(4,23,44)(4,5,0),(8,0,0)ACBC�设平面BMC的法向量1111(,,)nxyz�,平面APC的法向量2n�222(,,)xyz由110,0,BMnBCn��得11114(23)(44)0,80,xyxx即11110,23(0,1,)2344,44xnzy...