贵州省贵大附中2011届数学复习教学案：反函数（3）

课 题：2.4.3 反函数（3）教学目的：1．在掌握反函数概念的基础上，初步会求非单调函数在各不同单调区间上的反函数 ，会利用反函数解决相关综合问题 2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；3．培养坚忍不拔的意志，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点教学重点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用教学难点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用.授课类型：练习课课时安排：1 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．反函数的定义；求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明互为反函数的两个函数有什么关系：函数与的图象关于直线对称.反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到2．函数、、、间的关系：与、与互为反函数；与、与为同一函数二、讲解例题：例 1 求函数 y=(x≥0，x≠1)的反函数.解：⑴由原函数变形为 y-y=1+，即=(y-1)/(y+1)--①, ≥0，∴(y-1)/(y+1)≥0，解得 y<-1 或 y≥1, ⑵ 由①两边平方得 x=[(y-1)/(y+1)] ,⑶∴原函数的反函数是= [(x-1)/(x+1)] （x<-1 或 x≥1）；说明：原函数的值域是借助于变形中的①式：≥0 而得到的，对于一个比较复杂的函数，求它的值域时要注意题目中的现有条件.例 2 设函数 y==，求它的反函数.分析：这里给出了分段函数，即在不同的 x 范围内有不同的表达式，因此，也应在不同的 x 范围内求其反函数.解：⑴当 x<0 时，y=x,其反函数仍是 y=x(x<0);⑵ 当 x≥0 时，y=，由 y= (x≥0)得 x=,又 y= (x≥0)的值域为 y≥0，∴y= (x≥0)的反函数是 y=(x≥0). ⑶ 由⑴⑵可得=.例 3 已知函数的反函数是(x∈R,x≠2)，求 a,b,c 的值.解：⑴由(x≠2)解出 x=， 原函数的值域是 y≠3,∴(x≠2)的反函数是(x≠3,x∈R). ⑵ 由 互 为 反 函 数 的 函 数 关 系 知 ，与是 同 一 函 数 ，∴a=2,b=1,c=-3.例 4 若点 A(1,2)既在函数=的图象上，又在的反函数的图象上，求 a,b 的值.分析：求 a,b，就要有两个关于 a,b 的方程，如何寻求？①A(1,2)在图象上，这是很容易看出来的.② 如何用它也在的反函数的图象上呢？其一，真求反函数，再把 A(1,2)代入. 能不能不求反函数？其二，A(1,2)在反函数图象上，则(2,1)就应在原函数的图象上，即(a,b)满足 y=，则(b,a)应满足 y=，反之亦然.解：由 A(1,2)在=上，...