河北肥乡一中2013-2014学年高中数学 第二章 数列 章末回顾学案 新人教B版必修5

河北肥乡一中 2013-2014 学年高中数学 第二章 数列 章末回顾学案 新人教 B 版必修 5两种数列的基本公式及性质等差数列{an}等比数列{an}定义an＋1－an＝d (d 为常数) 等价形式 an＋1＋an－1＝2an＝q (q≠0)(q 为常数)等价形式 an＋1·an－1＝a (an≠0)通项公式an＝a1＋(n－1)d变形：an＝am＋(n－m)dan＝a1·qn－1变形：an＝am·qn－m中项a，A，b 成等差数列⇔A＝(A 称为 a，b 的等差中项)a，G，b 成等比数列⇔G＝± (ab>0)(G 称为 a，b 的等比中项)前 n 项和公式Sn＝na1＋d＝q＝1 时，Sn＝na1q≠1 时，Sn＝＝基本性质若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq若 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq若 m＋n＝2p，则 am＋an＝2ap若 m＋n＝2p，则 am·an＝a{an}是常数列⇔d＝0{an}是常数列⇔q＝1{an}递增⇔d>0{an}递增⇔或{an}递减⇔d<0{an}递减⇔或Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列(q≠－1 或 m 为奇数)若项的下标成等差数列，则相应的项成等差数列若项的下标成等差数列，则相应的项成等比数列若{an}，{bn}成等差数列，则{an＋bn}，{an－bn}成等差数列{an}，{bn}成等比数列，则，，{an·bn}成等比数列一、取倒数法和取对数法求通项例 1 已知数列{an}满足 an＋1＝，a1＝2.求 an.解 对 an＋1＝两边取倒数得：＝，∴＝＋n＋1.令 bn＝，则 bn＋1＝bn＋n＋1.∴bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝1－n.∴an＝＝＝.例 2 在数列{an}中，an＋1＝3a，a1＝3.求 an.解 由已知，an>0，对 an＋1＝3a 两边取常用对数得：lg an＋1＝2lg an＋lg 3.令 bn＝lg an.则 bn＋1＝2bn＋lg 3.∴bn＋1＋lg 3＝2(bn＋lg 3)．∴{bn＋lg 3}是等比数列，首项是 b1＋lg 3＝lg 3＋lg 3＝2lg 3.∴bn＋lg 3＝2n－1·(b1＋lg 3)＝2nlg 3.∴bn＝(2n－1)lg 3＝lg 32n－1＝lg an.∴an＝32n－1.二、运用恒等变形求数列前 n 项和例 3 已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前 n 项和，对于任意的 n∈N*满足 2Sn＝3an－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的通项公式是 bn＝，前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的正数 n，总有 Tn<1.(1)解 由已知得 (n≥2)．故 2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即 an＝3an－1 (n≥2)．故数列{an}为等比数列，且 q＝3.又当 n＝1 时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.∴an＝3n.(2)证明 bn＝＝－.∴Tn＝b1＋b2＋…＋b...