小专题研究(二) 简谐运动的多解问题简谐运动的最大特点就是具有周期性，其位移、速度、加速度、回复力、动能、势能等物理量都具有周期性；若物体运动时间与简谐运动的周期之间存在整数倍的关系，则点的位移、速度、回复力、加速度、动能等物理量均相同；所以简谐运动在很多情况具有多解性，这是由运动时间与周期关系不确定造成的。简谐运动的周期性体现在振动图像上是曲线的重复性。[例证] 如图 1 所示，小球 m 自 A 点以 AD 方向的初速度逐渐接近固定在 D 点的小球n。已知＝0.8 m，A 圆弧半径 R＝10 m，AD＝10 m，A、B、C、D 在同一水平面上，则 v 为多大时，才能使 m 恰好碰到小球 n？(设 g＝10 m/s2，不计一切摩擦)图 1[解析] 小球 m 的运动由两个分运动合成，这两个分运动分别是：以速度 v 沿 AD 方向的匀速直线运动和在圆弧面 AB 方向上的往复运动。因为≪R，所以小球在圆弧面上的往复运动可看做简谐运动，具有等时性，其圆弧半径 R 即为单摆的摆长，周期T＝2π。设小球 m 恰好能碰到小球 n，则有：AD＝vt，且满足 t＝kT(k＝1,2,3…)，又 T＝2π，解以上方程得v＝ m/s(k＝1,2,3…)，[答案] m/s(k＝1,2,3…)1．如图 2 所示，光滑的半球壳半径为 R，O 点在球心的正下方，一小球在距 O 点很近的 A 点由静止放开，同时在 O 点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在 O 点相碰，求小球应从多高处自由落下(≪R)。图 2解析：小球由 A 点开始沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动。因为≪R，所以小球自 A 点释放后做简谐运动，要使两球在 O 点相碰，两者到 O 点的运动时间相等。小球由 A 点由静止释放运动到 O 点的时间为(2n－1)(n＝1,2,3…)，由于从 O 点正上方自由落下的小球到 O 的时间也为(2n－1)时两球才能在 O 点相碰，所以h＝gt2＝g(2n－1)2＝(n＝1,2,3…)。答案：(n＝1,2,3…)2．A、B 两个单摆，第一次同时从平衡位置以相同速度开始运动，经过时间 t0，它们第二次以相同速度同时通过平衡位置，已知 A 摆的周期为 TA，求 B 摆的周期 TB。解析：由题知在 t0时间内，A 摆完成的全振动的次数为 nA＝；B 摆完成全振动的次数 nB＝，又因 A、B 摆是以相同的速度第二次同时通过平衡位置，所以有 nA－nB＝n，式中 n＝0，±1、±2…，得：－＝n(n＝0、±1、±2…)，解得：TB＝(n＝0、±1、±2…)。答案：TB＝(n＝0、±1、±2…)
