函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设f(x)=√2−x+lglgx，其定义域为。2、设f(x)=ln(x+1)，其定义域为。3、设f(x)=arcsin(x−3)，其定义域为。4、设f(x)的定义域是[0，1]，则f(sinx)的定义域为。5、设y=f(x)的定义域是[0，2]，则y=f(x2)的定义域为。6、limx→3x2−2x+kx−3=4，则k=。7、函数y=xsinx有间断点，其中为其可去间断点。8、若当x≠0时，f(x)=sin2xx，且f(x)x在=0处连续，则f(0)=。9、limn→∞(nn2+1+nn2+2+⋯+nn2+n)=。10、函数f(x)在x0处连续是|f(x)|在x0连续的条件。11、limx→∞(x3+1)(x2+3x+2)2x5+5x3=。12、limn→∞(1+2n)kn=e−3，则k=。13、函数y=x2−1x2−3x+2的间断点是。14、当x→+∞时，1x是比√x+3−√x+1的无穷小。15、当x→0时，无穷小1−√1−x与x相比较是无穷小。16、函数y=e1x在x=0处是第类间断点。17、设y=3√x−1x−1，则x=1为y的间断点。18、已知f(π3)=√3，则当a为时，函数f(x)=asinx+13sin3x在x=π3处连续。19、设f(x)={sinx2xx<0(1+ax)1xx>0若limx→0f(x)存在，则a=。20、曲线y=x+sinxx2−2水平渐近线方程是。21、f(x)=√4−x2+1√x2−1的连续区间为。22、设f(x)={x+a,x≤0cosx,x>0在x=0连续，则常数a=。二、计算题1、求下列函数定义域（1）y=11−x2；（2）y=sin√x；（3）y=e1x；2、函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？（1）f(x)=lnx2,g(x)=2lnx；（2）f(x)=x,g(x)=√x2；（3）f(x)=1,g(x)=sec2x−tan2x；3、判定函数的奇偶性（1）y=x2(1−x2)；（2）y=3x2−x3；（3）y=x(x−1)(x+1)；4、求由所给函数构成的复合函数（1）y=u2,u=sinv,v=x2；（2）y=√u,u=1+x2；（3）y=u2,u=ev,v=sinx；5、计算下列极限（1）limn→∞(1+12+14+⋯+12n)；（2）limn→∞1+2+3+⋯+(n−1)n2；（3）limx→2x2+5x−3；（4）limx→1x2−2x+1x2−1；（5）limx→∞(1+1x)(2−1x2)；（6）limx→2x3+2x2(x−2)2；（7）limx→0x2sin1x；（8）limx→1x2−1√3−x−√1+x；（9）limx→+∞x(√x2+1−x)；6、计算下列极限（1）limx→0sinwxx；（2）limx→0sin2xsin5x；（3）limx→0xcotx；（4）limx→∞(x1+x)x；（5）limx→∞(x+1x−1)x−1；（6）limx→0(1−x)1x；7、比较无穷小的阶（1）x→0时，2x−x2x与2−x3；（2）x→1时，1−x与12(1−x2)；8、利用等价无穷小性质求极限（1）limx→0tanx−sinxsinx3；（2）limx→0sin(xn)(sinx)m(n,m是正整数)；9、讨论函数的连续性f(x)={x−1,x≤13−x,x>1在x=1。10、利用函数的连续性求极限（1）limx→π6ln(2cos2x)；（2）limx→+∞(√x2+x−√x2−x)；（3）limx→0lnsinxx；（4）limx→∞(1+1x)2x；（5）f设(x)=limn→∞(1−xn)n,求limt→1+f(1t−1)；（6）limx→∞xln(x−1x+1)；11、设函数f(x)={ex,x<0a+x,x≥0应当怎样选择a，使得f(x)成为在(−∞，+∞)内的连续函数。12、证明方程x5−3x=1至少有一个根介于1和2之间。（B）1、设f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数定义域（1）y=f(ex)（2）y=f(lnx)2、设f(x)={0,x≤ox,x>0g(x)={0,x≤0−x2,x>0求f[f(x)],g[g(x)],f[g(x)],g[f(x)]3、利用极限准则证明：（1）limn→∞√1+1n=1（2）limx→0+x[1x]=1；（3）数列√2,√2+√2,√2+√2+√2,⋯的极限存在；4、试比较当x→0时，无穷小2x+3x−2与x的阶。5、求极限（1）limx→+∞x(√x2+1−x)；（2）limx→∞(2x+32x+1)x+1；（3）limx→0tanx−sinxx3；（4）limx→0(ax+bx+cx3)1x(a>0,b>0,c>0)；6、设f(x)={xsin1x,x>0a+x2,x≤0要使f(x)在(−∞,+∞)内连续，应当怎样选择数a？7、设f(x)={e1x−1,x>0ln(1+x),−1a,f(b)
