求轨迹方程的常用方法VIP免费

求轨迹方程的常用方法：题型一直接法此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件直接翻译成的形式，然后进行等价变换，化简，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。例1过点任作互相垂直的两直线和，分别交轴于点，求线段中点的轨迹方程。解：设点坐标为，由中点坐标公式及在轴上得，，化简得当时，，，此时的中点它也满足方程，所以中点的轨迹方程为。变式1已知动点到直线的距离是它到点的距离的2倍。（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹交于两点。若是的中点，求直线的斜率。题型二定义法圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。例2动圆过定点，且与圆相切，求动圆圆心的轨迹方程。解：根据题意，说明点到定点的距离之差的绝对值为定值，故点的轨迹是双曲线。，故动圆圆心的轨迹方程为变式2在中，上的两条中线长度之和为39，求的重心的轨迹方程．解：以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，如图1，为重心，则有．点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中．．所求的重心的轨迹方程为题型三相关点法此法的特点是动点的坐标取决于已知曲线上的点的坐标，可先用来表示，再代入曲线的方程，即得点的轨迹方程。例3如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程分析：从题意看动点的相关点是，在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。解：设动点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为在直线上，…①又垂直于直线，，即…②由①②解得…③又点在双曲线上，…④③代入④，得动点的轨迹方程为变式3已知△ABC的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程．解：设，，由重心公式，得又在抛物线上，．③将①，②代入③，得，即所求曲线方程是．题型四参数法选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程，选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后在选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。例4已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段满足，求直线与的交点的轨迹方程．解：如图2，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系．设点，则由题意，得．由点斜式得直线的方程分别为．两式相乘，消去，得．这就是所求点M的轨迹方程．变式4设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点，是坐标原点，上的动点满足，点的坐标为，当绕点旋转时，求：（1）动点的轨迹方程；（2）的最小值与最大值.分析：（1）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出，进而表示出点坐标，用消参法求轨迹方程；（2）将表示成变量的二次函数。解：（1）法一：直线过点，当的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为。设，，由题设可列方程为将①代入②并化简得：，所以于是设点的坐标为，则消去参数得…③当直线的斜率不存在时，的中点坐标为原点，也满足方程③，所以点的轨迹方程为。法二：设点的坐标为，因，在椭圆上，所以④—⑤得：所以①②④⑤当时，有…⑥并且…⑦将⑦代入⑥并整理得…⑧当时，点的坐标分别为、，这时点的坐标为，也满足⑧，所以点的轨迹方程为。（2）由点的轨迹方程知，即所以，故当时，取得最小值，最小值为；故当时，取得最小值，最小值为；