建立数学模型日照实验高中 2007 级数学导学案-----导数1.3.3 导数的实际应用学习目标：掌握导数在解决实际问题中的应用学习重点难点：掌握导数在解决实际问题中的应用．自主学习：一、知识再现：利用导数求函数极值和最值的方法二、新课探究：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：三、例题解析：例 1 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为 xcm，则箱 高cm ， 得 箱 子 容积 教师备课学习笔记用心 爱心 专心解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案xxxx6060． 令 ＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000由题意可知，当 x 过小（接近 0）或过大（接近 60）时，箱子容积很小，因此，16 000 是最大值奎屯王新敞新疆答：当 x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是 16 000cm3解法二：设箱高为 xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积．（后面同解法一，略） 由题意可知，当 x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值奎屯王新敞新疆例 2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为 h，底半径为 R，则表面积 S=2πRh+2πR2由 V=πR2h，得，则 S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2令+4πR=0解得，R=，从而 h====2即 h=2R， 因为 S(R)只有一个极值，所以它是最小值奎屯王新敞新疆教师备课学习笔记用心 爱心 专心x60-2x60-2x60-2xx60-2x6060答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省奎屯王新敞新疆变式：当...
