考点一正弦、余弦定理的应用1．(2013·辽宁，6)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则B＝()A.B.C.D.解析根据正弦定理得，sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，即sinAcosC＋sinCcosA＝，所以sin(A＋C)＝，即sinB＝，因为a＞b，∴B＝.选A.答案A2．(2013·湖南，3)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于()A.B.C.D.解析由＝，得sinA＝，又因为△ABC为锐角三角形，所以A＝.答案D3．(2013·天津，6)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝()A.B.C.D.解析由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos＝2＋9－2××3×＝5，∴AC＝，由正弦定理＝，得sinA＝＝＝.答案C4．(2012·上海，16)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析 sin2A＋sin2B＜sin2C，∴a2＋b2＜c2.则cosC＝＜0，∴C为钝角．答案C5．(2011·重庆，6)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A.B．8－4C．1D.解析 (a＋b)2－c2＝4，∴a2＋b2－c2＝4－2ab.又 C＝60°，由余弦定理有：cos60°＝，即a2＋b2－c2＝ab.∴4－2ab＝ab，则ab＝.答案A6．(2015·福建，12)若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．解析S＝AB·AC·sinA，∴sinA＝，在锐角三角形中A＝，由余弦定理得BC＝＝7.答案77．(2015·广东，11)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________．解析因为sinB＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.答案18．(2015·北京，12)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________．解析由余弦定理：cosA＝＝＝，∴sinA＝，cosC＝＝＝，∴sinC＝，∴＝＝1.答案19．(2015·重庆，13)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________．解析由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝，∠ADB＝45°，从而∠BAD＝15°＝∠DAC，所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝2ABcos30°＝.答案10．(2014·天津，12)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．解析由已知及正弦定理，得2b＝3c，因为b－c＝a，不妨设b＝3，c＝2，所以a＝4，所以cosA＝＝－.答案－11．(2014·江苏，14)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．解析由正弦定理可得a＋b＝2c，又cosC＝＝＝≥＝，当且仅当a＝b时取等号，所以cosC的最小值是.答案12．(2014·新课标全国Ⅰ，16)已知a，b，c，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．解析因为a＝2，所以(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC可化为(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，由正弦定理可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝＝＝，又0
