三角形性质小结下面就三角形的边、角、以及五心（外心、内心、重心、垂心、旁心）进行小结。对于△ABC，BC=a，CA=b，AB=c；外接圆为⊙O，半径为 R；内切圆为⊙I，半径为r 。△ABC 的面积记为 S。再设△ABC 的垂心为 H，重心为 G。则：（1）（2）正弦定理：证明：方法一、由于所以有证毕。方法二、如图（1）；作△ABC 外接圆⊙O 的直径 BD，连接 CD。同理有得证。证毕。方法三、如图（2）；作的单位向量 ，再过 A 作单位向量 ，使 同理有于是证毕。上述三种方法对于钝角、直角三角形也成立。证明过程略。（3）余弦定理：证明：方法一、如图（3）；用心 爱心 专心图（1 ）ABCDABC图（3 ）iABC图（2 ）j即亦即同理有方法二、如图（4）；作出 AB 边上的高 CD，垂足为 D。设则△ADC 中，△BDC 中于是有解得所以于是有同理有（4）射影定理：作出各边上的高，易得：（5）记 O 为△ABC 的外心，有（证明略）（6）设 AG、BG、CG 的延长线交 BC、CA、AB 于 D、E、F。则：（证明略）（7）记则：………………………………………………………⑴用心 爱心 专心DABC图（4 ）…………………………⑵…………………………………………………⑶下面仅证明（1）和（3）式。先证（1）式：如图（5），记△IBC，△ICA，△IAB 的面积分别为则证毕。再证明（3）式。（3）式的证明方法很多，下面仅用一种方法证明。证毕。（8）欧拉定理：O、G、H 三点共线，且证明：方法一、如图（6）。作⊙O 的直径 BF，连接 AF、OD。则有故 OD∥AF。于是△GCH∽△GDO。…………………………………………………………………（4）有所以 O、C、H 三点共线。并且（4）知：用心 爱心 专心图（6）图（7）FEDCBIA图 (5)故（9）（三角形（外）角平分线性质定理）设 AD 为△ABC 的角 A 的角平分线（或角 A 的外角平分线），则有证明：如图（7）。方法一、记△ABD、△ACD 的面积分别为、则有故方法二、设因为 B、D、C 三点共线，应有因此………………（5）再设则……（6）由（5）（6）式得。得故（10）设 A 的旁切圆圆心 M（角 A 的平分线与角 B、C 的外角平分线的交点），若 BC 与⊙M用心 爱心 专心的切点为 N。则证明：如图（8）。由切线长定理有：…………………………………………………………（7）并有………………………………（8）……………………………………（9）联立（7）（8）（9），得（11）记 G 为△ABC ...
