三角形性质小结下面就三角形的边、角、以及五心(外心、内心、重心、垂心、旁心)进行小结。对于△ABC,BC=a,CA=b,AB=c;外接圆为⊙O,半径为 R;内切圆为⊙I,半径为r 。△ABC 的面积记为 S。再设△ABC 的垂心为 H,重心为 G。则:(1)(2)正弦定理:证明:方法一、由于所以有证毕。方法二、如图(1);作△ABC 外接圆⊙O 的直径 BD,连接 CD。同理有得证。证毕。方法三、如图(2);作的单位向量 ,再过 A 作单位向量 ,使 同理有于是证毕。上述三种方法对于钝角、直角三角形也成立。证明过程略。(3)余弦定理:证明:方法一、如图(3);用心 爱心 专心图(1 )ABCDABC图(3 )iABC图(2 )j即亦即同理有方法二、如图(4);作出 AB 边上的高 CD,垂足为 D。设则△ADC 中,△BDC 中于是有解得所以于是有同理有(4)射影定理:作出各边上的高,易得:(5)记 O 为△ABC 的外心,有(证明略)(6)设 AG、BG、CG 的延长线交 BC、CA、AB 于 D、E、F。则:(证明略)(7)记则:………………………………………………………⑴用心 爱心 专心DABC图(4 )…………………………⑵…………………………………………………⑶下面仅证明(1)和(3)式。先证(1)式:如图(5),记△IBC,△ICA,△IAB 的面积分别为则证毕。再证明(3)式。(3)式的证明方法很多,下面仅用一种方法证明。证毕。(8)欧拉定理:O、G、H 三点共线,且证明:方法一、如图(6)。作⊙O 的直径 BF,连接 AF、OD。则有故 OD∥AF。于是△GCH∽△GDO。…………………………………………………………………(4)有所以 O、C、H 三点共线。并且(4)知:用心 爱心 专心图(6)图(7)FEDCBIA图 (5)故(9)(三角形(外)角平分线性质定理)设 AD 为△ABC 的角 A 的角平分线(或角 A 的外角平分线),则有证明:如图(7)。方法一、记△ABD、△ACD 的面积分别为、则有故方法二、设因为 B、D、C 三点共线,应有因此………………(5)再设则……(6)由(5)(6)式得。得故(10)设 A 的旁切圆圆心 M(角 A 的平分线与角 B、C 的外角平分线的交点),若 BC 与⊙M用心 爱心 专心的切点为 N。则证明:如图(8)。由切线长定理有:…………………………………………………………(7)并有………………………………(8)……………………………………(9)联立(7)(8)(9),得(11)记 G 为△ABC ...