复合函数的单调性 宁阳四中 崔东华 复合函数是中学数学的重要内容，也是高考的常考内容。复合函数的单调性是一个难点，常常出错，容易失分。下面对复合函数单调性进行总结，以便于掌握其规律。⒈ 复合函数的判断形如 f的函数叫做复合函数，其中 g(x)叫内函数，f(x)叫外函数。可以用语言叙述为：在一个函数的自变量位置又出现另一个函数的函数叫复合函数。它不同于函数的四则运算。如：f(x)=是复合函数，它是由 y=与 u=x-1 复合而成的；g(x)=+2x 不是复合函数，它是函数 y=及函数 y=2x 之和。在复合函数中内函数的值域应是外函数定义域的子集。⒉ 复合函数单调性的判断法则判断复合函数的单调性应按“同增异减”的法则。“同增异减”四个字表示四个不同的内容，“同”是指内函数与外函数单调性相同，包括都是增函数和都是减函数两种情况。“增”是指复合函数是增函数。“异”是指内函数与外函数单调性不同，包括都是内增外减和内减外增两种情况。“减”是指复合函数是减函数。下面以内函数为减函数，外函数为增函数为例证明“同增异减”的法则。例 1：设 y= f,已知 f(u)在 u(c,d)内是增函数，u=g(x)在 x(a,b)内是减函数。证明 y= f在 x(a,b)内是减函数。分析：利用减函数的定义进行证明。证明：设 x g(x )又∵f(u)在 u(c,d)内是增函数，且 g(x )、g(x )(c,d)∴f>f，故 y= f在 x(a,b)内是减函数。点评：类似可以证明其它三种情况。⒊ 求复合函数单调区间的步骤⑴ 求复合函数的定义域。⑵将复合函数分解为内函数和外函数。⑶分别判断内函数和外函数的单调性。⑷根据“同增异减”的法则，写出复合函数的单调区间。例 2：求函数 y=的单调区间。分析：这是一个复合函数，利用求复合函数的单调区间的步骤求解。解：由-x -x+60 可得 x +x-60,∴ -3x2。用心 爱心 专心设 y=,u=-x -x+6。当 x时，u=-x -x+6 是增函数，y=在是增函数，故 y=在上是增函数。当 x时，u=-x -x+6 是减函数，y=在是增函数，故 y=在上是减函数。点评：在求复合函数单调区间时，常常忽略求函数的定义域，从而造成单调区间变大，出现失误。在平时训练时，要养成良好习惯，严格按照求复合函数单调区间的步骤求解。本篇适用大纲版，高一年级，第七期。作者：崔东华地址：宁阳四中 邮编：271400电话：5697874电子邮件：nyszcdh@163.comQQ：617566937用心 爱心 专心
