立体几何中的有关证明与综合问题例 1． 已知斜三棱柱 ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为 α（0°<α<90°），B’在底面上的射影 D 落在 BC 上。（1）求证：AC⊥面 BB’C’C。（2）当 α 为何值时，AB’⊥BC’，且使得 D 恰为 BC 的中点。讲解：（1） B’D⊥面 ABC，AC面 ABC，∴ B’D⊥AC，又 AC⊥BC，BC∩B’D=D，∴ AC⊥面 BB’C’C。（2）由三垂线定理知道：要使 AB’⊥BC’，需且只需 AB’在面 BB’C’C 内的射影 B’C⊥BC’。即四边形 BB’C’C 为菱形。此时，BC=BB’。因为 B’D⊥面 ABC，所以，就是侧棱 B’B 与底面 ABC 所成的角。由 D 恰好落在 BC 上，且为 BC 的中点，所以，此时=。即当 α=时，AB’⊥BC’，且使得 D 恰为 BC 的中点。例 2． 如图：已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面 PDC 为正三角形，且平面 PDC⊥底面 ABCD，E 为 PC中点。（1）求证：平面 EDB⊥平面 PBC；（2）求二面角的平面角的正切值。讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面 PDC 为正三角形，所以，，那么我们自然想到：是否有？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。 面 PDC⊥底面 ABCD，交线为 DC，∴ DE 在平面 ABCD 内的射影就是 DC。在正方形 ABCD 中，DC⊥CB，∴ DE⊥CB。又，，∴ DE⊥。又面 EDB，∴ 平面 EDB⊥平面 PBC。（ 2 ） 由 （ 1 ） 的 证 明 可 知 ： DE⊥。 所 以 ，就 是 二 面 角的平面角。 面 PDC⊥底面 ABCD，交线为 DC，又平面 ABCD 内的直线 CB⊥ DC。∴ CB⊥面 PDC。又面 PDC，∴ CB⊥PC。在 Rt中，。点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。例 3 ． 如 图 ： 在 四 棱 锥中 ，⊥ 平 面， ∠，，，为的中点。（1）求证：平面；（2）当点到平面的距离为多少时，平面与平面所成的二面角为？讲解：题目中涉及到平面与平面所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。另一方面，要证平面，应该设法证明 CE 平行于面内的一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。（1）延长 BC、AD 交于点 F。在中，∠，所以， AB 、 ...
