空间距离一. 知识回顾:1.点到平面的距离: .2.直线到平面的距离: .3.两个平面的距离: .4.异面直线间的距离: .二.基础训练:1.在中,,所在平面外一点到三顶点 的距离都是,则到平面的距离是 ( ) 2.在四面体中,两两垂直,是面内一点,到三个面的距离分别是,则到的距离是 ( ) 3.已知矩形所在平面,,,则到的距离为 ,到的距离为 .4.已知二面角为,平面内一点到平面的距离为,则到平面的距离为 .三.例题分析:例 1.已知二面角为,点和分别在平面和平面内,点在棱上,,(1)求证:;(2)求点到平面的距离;(3)设是线段上的一点,直线与平面所成的角为,求的长(1)证明:作于,连接, ,,∴,∴,平面,平面,∴.解:(2)作于, 平面,∴,∴,是点到平面的距离,由(1)知,∴.∴点到平面的距离为.(2)连接, ,与平面所成的角为,,,∴, ,,为正三角形,是中点,∴是中点,∴.小结:求点到平面的距离关键是寻找点到的垂线段.例 2 . 在 直 三 棱 柱中 , 底 面 是 等 腰 直 角 三 角 形 ,, 侧 棱,分别是,与的中点,点在平面上的射影是的重心,(1)求与平面所成角的正弦值;(2)求点到平面的距离.解:建立如图的空间直角坐标系,设,则,,,, 分别是,与的中点, ∴, 是的重心,,∴,,GEDC1B1A1CBAGEDC1B1A1CBA, 平面,得,且与平面所成角,,,,(2)是的中点,到平面的距离等于到平面的距离的两倍, 平面,到平面的距离等于.小结:根据线段和平面的关系,求点到平面的距离可转化为求到平面的距离的两倍.例 3.已知正四棱柱,点为的中点,点为的中点,(1)证明:为异面直线的公垂线;(2)求点到平面的距离.解:(1)以分别为轴建立坐标系, 则,,,,,,,∴,∴为异面直线的公垂线.(2)设是平面的法向量, ,∴,,,点到平面的距离.小结:由平面的法向量能求出点到这个平面的距离.例 4. 如图,已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,点 E 在棱 D1D 上,截面 EAC∥ D1B 且面 EACFE1111DCBADCBA与底面 ABCD 所成的角为 45°,AB=a。(1)求截面 EAC 的面积;(2)求异面直线 A1B1与AC 之间的距离。四、作业同步练习 空间距离3.已知正方形所在平面,,点到平面的距离为,点到平面的距离为,则() 4.把边长为的正三角形沿高线折成的二面角,点到的距离是( ) 5.四面体的棱长都是 ,两点分别在棱上,则与的最...