空间距离一. 知识回顾:1．点到平面的距离： ．2．直线到平面的距离： ．3．两个平面的距离： ．4．异面直线间的距离： ．二．基础训练：1．在中，，所在平面外一点到三顶点 的距离都是，则到平面的距离是 （ ） 2．在四面体中，两两垂直，是面内一点，到三个面的距离分别是，则到的距离是 （ ） 3．已知矩形所在平面，，，则到的距离为 ，到的距离为 ．4．已知二面角为，平面内一点到平面的距离为，则到平面的距离为 ．三．例题分析：例 1．已知二面角为，点和分别在平面和平面内，点在棱上，，（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）设是线段上的一点，直线与平面所成的角为，求的长（1）证明：作于，连接， ，，∴，∴，平面，平面，∴．解：（2）作于， 平面，∴，∴，是点到平面的距离，由（1）知，∴．∴点到平面的距离为．（2）连接， ，与平面所成的角为，，，∴， ，，为正三角形，是中点，∴是中点，∴．小结：求点到平面的距离关键是寻找点到的垂线段．例 2 ． 在 直 三 棱 柱中 ， 底 面 是 等 腰 直 角 三 角 形 ，， 侧 棱，分别是，与的中点，点在平面上的射影是的重心，（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．解：建立如图的空间直角坐标系，设，则，，，， 分别是，与的中点， ∴， 是的重心，，∴，，GEDC1B1A1CBAGEDC1B1A1CBA， 平面，得，且与平面所成角，，，，（2）是的中点，到平面的距离等于到平面的距离的两倍， 平面，到平面的距离等于．小结：根据线段和平面的关系，求点到平面的距离可转化为求到平面的距离的两倍．例 3．已知正四棱柱,点为的中点，点为的中点，（1）证明:为异面直线的公垂线；（2）求点到平面的距离．解：（1）以分别为轴建立坐标系， 则，，，，，，，∴，∴为异面直线的公垂线．（2）设是平面的法向量， ，∴，，，点到平面的距离．小结：由平面的法向量能求出点到这个平面的距离．例 4. 如图，已知正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1，点 E 在棱 D1D 上，截面 EAC∥ D1B 且面 EACFE1111DCBADCBA与底面 ABCD 所成的角为 45°，AB=a。（1）求截面 EAC 的面积；（2）求异面直线 A1B1与AC 之间的距离。四、作业同步练习 空间距离3．已知正方形所在平面，，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则（） 4．把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，点到的距离是（ ） 5．四面体的棱长都是 ，两点分别在棱上，则与的最...
