第１８讲 平面向量与解析几何在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。二、例题解析例 1、（2000 年全国高考题）椭圆14922 yx的焦点为 F ,1F2，点 P 为其上的动点，当∠F1P F2为钝角时，点 P 横坐标的取值范围是___。解：F1（－ 5 ,0）F2（ 5 ,0）,设 P（3cos ,2sin ）21PFF为钝角∴ 1253cos , 2sin ) ( 53cos , 2sin )PF PF �（ =9cos2 －5＋4sin2 =5 cos2 －1<0 解得：55cos55 ∴点 P 横坐标的取值范围是（553,553）点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。例 2、已知定点 A(-1,0)和 B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4 上的一动点，求22PAPB的最大值和最小值。分析：因为 O 为 AB 的中点，所以2,PAPBPO�故可利用向量把问题转化为求向量 OP�的最值。解：设已知圆的圆心为 C，由已知可得：{ 1,0},{1,0}OAOB �用心 爱心 专心0,1OAOBOA OB�又由中点公式得2PAPBPO�所以222()2PAPBPAPBPA PB� =2(2)2() ()POOAOPOBOP� =224222()POOA OBOPOPOAOB� =222OP �又因为{3,4}OC � 点 P 在圆(x-3)2+(y-4)2=4 上, 所以5,2,OCCP� 且OPOCCP� 所以 OCCPOPOCCPOCCP�即37OP� 故2222022100PAPBOP...
