第 2 课时 平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数 x、y，使得＝x＋y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝ ．2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系．3．平面向量的坐标运算：若＝(x1、y1)， ＝(x2、y2)，λ∈R，则：＋ ＝ － ＝ λ＝ 已知 A(x1、y1)，B(x2、y2)，则＝ ．4．两个向量＝(x1、y1)和 ＝(x2、y2)共线的充要条件是 ．例 1.已知点 A（2，3），B（－1，5），且＝，求点 C 的坐标．解＝＝(－1，)，＝＝(1, )，即 C(1, )变式训练 1.若，，则= . 解: 提示：例 2. 已知向量＝(cos，sin)， ＝(cos，sin)，|－ |＝，求 cos(α－β)的值．解:|－ |＝＝cos＝cos(α－β)＝变式训练 2.已知－2 ＝(－3，1)，2＋ ＝(－1，2)，求＋ ．解 ＝(－1，1)， ＝(1，0)，∴＋ ＝(0，1)例 3. 已知向量＝(1, 2)， ＝(x, 1)，＝＋2 ，＝2－ ，且∥，求 x．解:＝(1＋2x，4)，＝(2－x，3)，∥3(1＋2x)＝4(2－x)x＝变式训练 3.设＝(ksinθ, 1)， ＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，∥ ，求证：k≥．证明: k＝ ∴k－＝≥0 ∴k≥例 4. 在平行四边形 ABCD 中，A(1，1)，＝(6，0)，点 M 是线段 AB 的中点，线段 CM 与 BD典型例题基础过关AMBCDP交于点 P．(1) 若＝(3，5)，求点 C 的坐标；(2) 当||＝||时，求点 P 的轨迹．解：(1)设点 C 的坐标为(x0，y0)， 得 x0＝10 y0＝6 即点 C(10，6)(2) ∵ ∴点 D 的轨迹为(x－1)2＋(y－1)2＝36 (y≠1)∵M 为AB 的中点∴P 分的比为设 P(x，y)，由 B (7，1) 则 D(3x－14，3y－2)∴点 P 的轨迹方程为变式训练 4.在直角坐标系 x、y 中，已知点 A(0，1)和点 B(－3，4)，若点 C 在∠AOB 的平分线上，且||＝2，求的坐标．解 已知 A (0，1)，B (－3，4) 设 C (0，5)，D (－3，9)则四边形 OBDC 为菱形 ∴∠AOB 的角平分线是菱形 OBDC 的对角线 OD∵∴ 1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．小结归纳
