第 4 课时 曲线与方程、1．直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）．2．求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等．例 1. 如图所示，过点 P（2，4）作互相垂直的直线 l1、l2.若 l1交x 轴于 A，l2交 y 轴于 B，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程.解 ：设点 M 的坐标为（x,y）, M 是线段 AB 的中点，∴A 点的坐标为（2x,0），B 点的坐标为（0，2y）.∴=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.由已知·=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即 x+2y-5=0.∴线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x+2y-5=0.变式训练 1：已知两点 M（-2，0）、N（2， 0），点 P 为坐标平面内的动点，满足||||+ ·=0，求动点 P（x，y）的轨迹方程.解 由题意：=（4，0），=（x+2,y）,=（x-2,y）, ||||+·=0，∴·+（x-2）·4+y·0=0，两边平方，化简得 y2=-8x.例 2. 在△ABC 中，A 为动点，B、C 为定点，B,C且满足条件 sinC-sinB=sinA,则动点 A 的轨迹方程是（ ）A.=1 (y≠0)B.=1 (x≠0)C.=1（y≠0）的左支D.=1（y≠0)的右支答案D变式训练 2：已知圆 C1：(x+3)2+y2=1 和圆 C2：（x-3）2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程.解 如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于点 A 和点 B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.基础过关典型例题这表明动点 M 到两定点 C2，C1的距离之差是常数 2.根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支（点 M 到 C2的距离大，到 C1的距离小），这里 a=1,c=3,则 b2=8,设点 M 的坐标为（x,y）,其轨迹方程为 x2-=1 (x≤-1).例 3. 如图所示，已知 P（4，0）是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.解 设 AB 的中点为 R，坐标为（x1，y1），Q 点坐标为（x，y），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，又因为 R 是弦 AB 的中点，依垂径定理有Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（）.又|AR|=|PR|=，所以有（x1-4）2+=36-（）.即-4x1-10=0.因为 R 为 PQ 的中点，所以 x1=，y1=.代入方程-4x1-10=0，得·-10=0.整理得 x2+y2=56.这...
