第 4 课时 曲线与方程、1.直接法求轨迹的一般步骤:建系设标,列式表标,化简作答(除杂).2.求曲线轨迹方程,常用的方法有:直接法、定义法、代入法(相关点法、转移法)、参数法、交轨法等.例 1. 如图所示,过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1、l2.若 l1交x 轴于 A,l2交 y 轴于 B,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程.解 :设点 M 的坐标为(x,y), M 是线段 AB 的中点,∴A 点的坐标为(2x,0),B 点的坐标为(0,2y).∴=(2x-2,-4),=(-2,2y-4).由已知·=0,∴-2(2x-2)-4(2y-4)=0,即 x+2y-5=0.∴线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x+2y-5=0.变式训练 1:已知两点 M(-2,0)、N(2, 0),点 P 为坐标平面内的动点,满足||||+ ·=0,求动点 P(x,y)的轨迹方程.解 由题意:=(4,0),=(x+2,y),=(x-2,y), ||||+·=0,∴·+(x-2)·4+y·0=0,两边平方,化简得 y2=-8x.例 2. 在△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B,C且满足条件 sinC-sinB=sinA,则动点 A 的轨迹方程是( )A.=1 (y≠0)B.=1 (x≠0)C.=1(y≠0)的左支D.=1(y≠0)的右支答案D变式训练 2:已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.解 如图所示,设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于点 A 和点 B,根据两圆外切的充要条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.基础过关典型例题这表明动点 M 到两定点 C2,C1的距离之差是常数 2.根据双曲线的定义,动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 到 C2的距离大,到 C1的距离小),这里 a=1,c=3,则 b2=8,设点 M 的坐标为(x,y),其轨迹方程为 x2-=1 (x≤-1).例 3. 如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点,A、B 是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.解 设 AB 的中点为 R,坐标为(x1,y1),Q 点坐标为(x,y),则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|,又因为 R 是弦 AB 的中点,依垂径定理有Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-().又|AR|=|PR|=,所以有(x1-4)2+=36-().即-4x1-10=0.因为 R 为 PQ 的中点,所以 x1=,y1=.代入方程-4x1-10=0,得·-10=0.整理得 x2+y2=56.这...