对数的公理化定义 真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零， 底数则要大于 0 且不为 1 对数函数的底数为什么要大于 0 且不为 1？ 【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应 b 的值的。但是，根据对数定义: logaa=1；如果 a=1 或=0 那么 logaa 就可以等于一切实数（比如 log1 1 也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果 a<0，那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于 4，另一个等于-4）】 通常我们将以 10 为底的对数叫常用对数（common logarithm),并把 log10N 记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数 e=2.71828···为底数的对数，以 e 为底的对数称为自然对数（natural logarithm),并且把 loge N 记为 In N. 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系： 当 a 〉0，a≠ 1 时，a^x=N→X=logaN。 由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论： 负数和零没有对数 loga 1=0 loga a=1(a 为常数) 编辑本段对数的定义和运算性质 一般地，如果 a（a>0，且 a≠1）的 b 次幂等于 N，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作log(a)（N）=b,其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 底数则要>0 且≠1 真数>0 对数的运算性质 当 a>0 且 a≠1 时，M>0,N>0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R） (4)log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M)(n∈R) （5）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0 且 b≠1） (6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明： 设 a=n^x 则 a^(log(b)n)= （ n^x ） ^log(b)n=n^ （ x·log(b)n ） =n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a) (7)对数恒等式：a^log（a)N=N; log（a）a^b=b （8）由幂的对数的运算性质可得(推导公式) 1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M 2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M 用心 爱心 专心1 3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M 4.log(以 n 次根号下的 a 为底)(以 n 次根号下的 M 为真数)=log(a)M , log(以 n 次根号下的 a 为底)(以 m 次根号下的 M 为真...
