第三讲 导数的应用研热点（聚焦突破）类型一 利用导数研究切线问题导数的几何意义(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即 k＝f′(x0)；(2)曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．[例 1] (2012 年高考安徽卷改编)设函数 f(x)＝aex＋＋b(a>0)．在点(2，f(2))处的切线方程为 y＝x，求a，b 的值．[解析] f′(x)＝aex－，∴f′(2)＝ae2－＝，解得 ae2＝2 或 ae2＝－(舍去)，所以 a＝，代入原函数可得 2＋＋b＝3，即 b＝，故 a＝，b＝.跟踪训练已知函数 f(x)＝x3－x.(1)求曲线 y＝f(x)的过点(1，0)的切线方程；(2)若过 x 轴上的点(a，0)可以作曲线 y＝f(x)的三条切线，求 a 的取值范围．解析：(1)由题意得 f′(x)＝3x2－1.曲线 y＝f(x)在点 M(t，f(t))处的切线方程为 y－f(t)＝f′(t)(x－t)，即 y＝(3t2－1)·x－2t3，将点(1，0)代入切线方程得 2t3－3t2＋1＝0，解得 t＝1 或－，代入 y＝(3t2－1)x－2t3 得曲线 y＝f(x)的过点(1，0)的切线方程为 y＝2x－2 或 y＝－x＋. (2)由(1)知若过点(a，0)可作曲线 y＝f(x)的三条切线，则方程 2t3－3at2＋a＝0 有三个相异的实根，记g(t)＝2t3－3at2＋a.则 g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)．当 a>0 时，函数 g(t)的极大值是 g(0)＝a，极小值是 g(a)＝－a3＋a，要使方程 g(t)＝0 有三个相异的实数根，需使 a>0 且－a3＋a<0，即 a>0 且 a2－1>0，即 a>1；当 a＝0 时，函数 g(t)单调递增，方程 g(t)＝0 不可能有三个相异的实数根；当 a<0 时，函数 g(t)的极大值是 g(a)＝－a3＋a，极小值是 g(0)＝a，要使方程 g(t)＝0 有三个相异的实数根，需使 a<0 且－a3＋a>0，即 a<0 且 a2－1>0，即 a<－1.综上所述，a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．1类型二 利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系在区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 f(x)在区间(a，b)上单调递减．[例 2] (2012 年高考山东卷改编)已知函数 f(x)＝(k 为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x 轴平行．(1)求 k 的值；(2)求 f(x)的单调区间．[解析] (1)由 f(x)＝，得 f′(x)＝，x∈(0，＋∞)．由于曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与 x 轴平行，...
